Immagine funzione a più variabili

Buonasera, ho difficoltà nel trovare l'immagine di una funzione a più variabili. Non capisco se c'è un metodo generale...
Ad esempio:
$\A={(x,y,z)inRR : x^2+y^2+z^2=1, y<=1/2}$
$\f(x,y,z)=x-2y+2z$
Come dovrei procedere in questo caso per determinare l'immagine della funzione?
L'idea non è quella di determinare il valore massimo e il valore minimo che assume la funzione all'interno dell'insieme A?
Grazie in anticipo!!

In questo caso sì perché \( A \) è connesso, l'immagine continua di un connesso è connessa e gli unici connessi di \( \mathbb{R} \) sono intervalli.

Edit. Sto rispondendo alla tua seconda domanda.

Forse ho capito, ho calcolato $\MINf$ e $\MAXf$ con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Ho ottenuto due punti $\P_1=(1/3,-2/3,2/3), P_2=(-1/3,2/3,-2/3)$ e dunque $\f(A)=[-3,3]$ poichè $\A$ è connesso e $\f$ è continua su $\A$ giusto?

L'idea è corretta (anche i moltiplicatori, visto che si tratta di massimi/minimi vincolati), ma non ho intenzione di controllare i tuoi conti

Perfetto, l'importante è che l'idea sia corretta.
Ora mi chiedo, se invece non ho una restrizione?
Cioè se ho un esercizio del tipo:
$\f(x,y,z)=(x^2+abs(y)+1/(2cos(z)))/(xyz)$
calcolare $\f(A)$
Come dovrei procedere in questo caso? Ho letto che dovrei determinare le linee di livello e poi?

Intendi che in questo caso \( A = \mathbb{R}^3 \)?

esattamente

Beh intanto dovrai determinarne il dominio. Comunque prova a considerare restrizioni del tipo \( z \mapsto f(k_1,k_2,z) \) per qualche \( k_1, k_2 > 0 \) fissati...