Ciao FUNFU,
Passando all'integrale indefinito, avrei completato il quadrato a numeratore e poi tolto e aggiunto $1$:
$ \int (e^(6\pix)+1)/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = \int (e^(6\pix) - 2e^(3\pix) + 1 + 2e^(3\pix))/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = \int ((e^(3\pix) - 1)^2 + 2e^(3\pix))/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = $
$ = \int (e^(3\pix) - 1) \text{d}x + 2 \int (e^(3\pix))/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = \int (e^(3\pix) - 1) \text{d}x + 2 \int (e^(3\pix) - 1 + 1)/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = $
$ = \int e^(3\pix) \text{d}x - \int \text{d}x + 2 \int \text{d}x + 2\int 1/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = $
$ = \int e^(3\pix) \text{d}x + \int \text{d}x + 2 \int 1/(e^(3\pix)-1) \text{d}x = $
$ = \frac{e^(3\pix)}{3\pi} + x + 2 \int 1/(e^(3\pix)-1) \text{d}x $
A questo punto avrei usato la posizione $y := e^(3\pix) $ già suggerita da anto_zoolander nell'ultimo integrale sopravvissuto.
@anto_zoolander: nella soluzione che hai ottenuto c'è una svista nel segno al denominatore che non è $+$, ma è $-$...