Funzione analitica(?)

[3m0o]

Se \( f \) è una funzione tale che esiste una successione \( (a_n)_{n\geq0} \) tale che per tutti gli \( N \geq 0 \) esiste una costante \( C_N \) tale che
\[ \sum\limits_{n=0}^{N} a_n x^n - C_N \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}^N \leq f(x) \leq \sum\limits_{n=0}^{N} a_n x^n + C_N\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}^N \]
Allora se \( \sup\limits_{N \in \mathbb{N}} C_N < + \infty \), $f$ è analitica su \( [-r,r] \) per tutti gli \( r < 1 \)
Vero o falso? Se vero dimostra, se falso controesempio.

Non sono sicuro del mio contro-esempio. Secondo me è falso infatti prendendo
\[ f(x)= \left\{\begin{matrix}
e^{-1/x} & \text{se} & x >0 \\
0 & \text{se} & x \leq 0
\end{matrix}\right. \]
Abbiamo che \( f \) è una funzione liscia ma non analitica per il fatto che
\[ f^{(n)}(x)= \left\{\begin{matrix}
\frac{g_n(x)}{x^{2n}}e^{-1/x} & \text{se} & x >0 \\
0 & \text{se} & x \leq 0
\end{matrix}\right. \]
Dove \( g_1(x)=1 \) e \( g_{n+1} = g_n'(x)x^2-(2nx-1)g_n(x) \) e se consideriamo lo sviluppo di Taylor centrato in zero al ordine $N$ otteniamo
\[ \sum\limits_{k=0}^{N} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \]
D'altro canto prendendo \( C_N = 1, \forall N \in \mathbb{N} \) e ponendo \( a_n =\frac{f^{(n)}(0)}{n!} , \forall n \in \mathbb{N} \) abbiamo che è verificata
\[ \sum\limits_{n=0}^{N} a_n x^n - C_N \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}^N \leq f(x) \leq \sum\limits_{n=0}^{N} a_n x^n + C_N\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}^N \]

È corretto il mio contro-esempio?

[anto_zoolander]

Ciao!

se vale quella disuguaglianza, per ogni $x in (-1,1)$, si ha che il termine $C_Nabs(x)^N->0$ in quanto la successione ${C_N}_(N inNN)$ è limitata

Quindi

$f(x)=sum_(n=0)^(+infty)a_nx^n$

Anche perché da quella disuguaglianza segue

$abs(f(x)-sum_(n=0)^(N)a_nx^n)leqC_N|x|^N$

Quindi in ogni punto fissato $x in(-1,1)$ la serie converge a $f(x)$ pertanto dovrebbe essere analitica.

Relativamente al tuo controesempio essendo $sum_(n=0)^(N)a_nx^n=0$, dato $x in(-1,1)$, si avrebbe

$-x^Nleqf(x)leqx^N,forallN inNN$

Questo implicherebbe che $f$ dovrebbe essere nulla in $(-1,1)$.

Dimmi che te ne pare

[3m0o]

È quello a cui ho inizialmente pensato anche io, però se non erro una funzione è analitica su un aperto \( I \) se per ogni punto \( x_0 \in I \) abbiamo che
\[ f(x)= \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Dove \( (a_n)_{n\geq0}\) è una successione e la serie \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \] è convergente.
Ora il fatto è che come dici te giustamente per ogni \( x \in (-1,1) \) abbiamo che \( C_N \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}^N \to 0 \) quando \( N \to \infty \) proprio perché \( \sup C_N < \infty \), e dunque
\[ f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \]
Ma per essere analitica in \( x_0 = 0 \in (-r,r) \) per ogni \( r < 1 \) necessariamente \(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) deve convergere, e non vedevo come dimostrare questo fatto onestamente dal momento che non ho informazioni sulla successione \( (a_n)_{n \geq 0 } \). Quindi ho pensato fosse falsa... poi che il mio contro esempio non sia effettivamente un contro esempio può darsi.

[3m0o]

Che scemo... converge a \( f(x) \) ho fatto confusione sul fatto che \( \sum a_n \) dev'essere convergente...

[anto_zoolander]

Ti stavo scrivendo proprio questo ma ho visto che l’hai capito autonomamente

era un altro esercizio d’esame?

[3m0o]

Si e fortunatamente all'esame ho risposto vero dimostrandolo sostanzialmente sulla stessa linea del tuo commento, ma rivedendolo ora mi era venuto il dubbio

[anto_zoolander]

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