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Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 10:46
da pilloeffe
Ciao matos,

Stai facendo un po' di confusione con le variabili: se hai $x$ poi non puoi parametrizzare con $cosx $... :wink:

Supponendo che sia $a > 0 $ e $b > 0 $, $z = f(x,y) = - ax^2 - by^2 $ è una funzione pari avente dominio $D = \RR^2 $ e codominio $C = (-\infty, 0] $: si tratta di un paraboloide ellittico avente massimo $z = 0 $ nel punto $O(0, 0) $. Dato poi che hai $x >= y > 0 $, significa che siamo nell'ottante caratterizzato da $ x > 0 $, $y > 0 $ e $z <= 0 $: prova a farti un disegno della situazione.
Tutto quanto sopra premesso, la prima parametrizzazione che mi viene in mente è quella che fa uso delle coordinate cilindriche (cilindro ellittico).

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 13:55
da pilloeffe
matos ha scritto:grazie per il tuo intervento

Prego! :smt023

Beh, non vedo dove sia il problema, anzi con la correzione che hai operato la trasformazione in coordinate ellittiche è anche più semplice:

$\{(x = A\rho cos\theta),(y = B\rho sin\theta),(z = z):}$

ove $A = \sqrt{1/a} $, $B = \sqrt{1/b} $, $\rho >= 0 $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $ z <= 0 $

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 18:49
da pilloeffe
matos ha scritto:ma $\rho $ devo mettercelo per forza?

Eh beh direi, anche perché è un tantino fondamentale:

$ z = - ax^2 - by^2 = - (ax^2 + by^2) = - (\rho^2cos^2\theta + \rho^2 sin^2\theta) = - \rho^2 <= 0$

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 22:55
da pilloeffe
matos ha scritto:Ma sbaglio o è giusto che se non metto $\rho $ è come se parametrizzassi solo la superficie del paraboloide?

Non ho capito bene cosa intendi con questa frase, ma comunque sbagli. Poi $\rho $ nelle coordinate cilindriche ellittiche ci vuole, non è che puoi scegliere se metterlo o non metterlo... :wink:
matos ha scritto:[...] vorrei figurarmi geometricamente [...]

Come ti dicevo qualche post fa, se vuoi renderti conto della situazione la cosa migliore è farti un bel disegno. Il paraboloide in questione ha vertice coincidente col punto $O(0, 0, 0) $ e per il resto sta tutto sotto il piano orizzontale di equazione $z = 0 $.
Si chiama paraboloide ellittico perché se lo si seziona con piani orizzontali di equazione $z = k < 0 $ si ottengono delle ellissi che diventano sempre più grandi man mano che ci si allontana dal vertice del paraboloide.

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 17/07/2019, 08:29
da pilloeffe
matos ha scritto:in effetti senza $\rho $ ora ho capito, parametrizzerei un cilindro!

No... Senza $\rho $, significherebbe $\rho = 0 \implies x = y = 0 \implies z = 0 $ e quindi otterresti il solo punto $O(0, 0, 0) $.
matos ha scritto:secondo te è possibile parametrizzare con due soli parametri, mi accorgo infatti che per determinare il paraboloide in cartesiane bastano x e y, z è data dal legame di queste due. Vorrei, se possibile, fare la stessa cosa usando rho e theta cioè usare solo due variabili e non anche z per l'altezza (curiosità)

Questa non l'ho capita: hai già due parametri $\rho $ e $\theta $ che prendono il posto di $x $ e $y $... :wink:

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 17/07/2019, 21:41
da pilloeffe
matos ha scritto:1) Sul primo punto intendo non porre $\rho=0 $ ma non usarlo proprio

Cosa significa questa frase? Non puoi non usarlo se stai usando le coordinate cilindriche ellittiche... Forse intendi considerare $\rho = 1 $? In tal caso cosa succede se sezioni il paraboloide ellittico col piano orizzontale di equazione $z = - 1 $?
matos ha scritto:2) Si ho rho e theta, ma anche z per l'altezza che è slegata da esse, quindi non dovrebbero essere 3 incognite in gioco per descriverla del tutto?

Ma scusa, come ricavi $z = - ax^2 - by^2 $ con $x $ e $y $, allo stesso modo ti ricavi $z = - \rho^2 $ utilizzando la trasformazione già citata:

$\{(x = A\rho cos\theta),(y = B\rho sin\theta),(z = z):} $

ove $A = \sqrt{1/a} $, $B = \sqrt{1/b}$, $ \rho >= 0 $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $ z <= 0 $

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 18/07/2019, 08:59
da pilloeffe
matos ha scritto:direi che esce un'ellissi di raggio 1 $ax^2+bx^2 = 1 $

Non esistono ellissi di raggio $1$, esistono ellissi di semiassi $\sqrt{1/a} $ e $\sqrt{1/b} $:

$ x^2/(\sqrt{1/a})^2 + y^2/(\sqrt{1/b})^2 = 1 $

Dopo la trasformazione di coordinate citate invece diventa un cerchio di raggio $\rho = 1 $.
matos ha scritto:2) Dovrei avere $z=−aA\rho cos\theta−bB\rho sin\theta $

No... Ti sei leggermente dimenticato di elevare al quadrato:

$ z=−a(A\rho cos\theta)^2−b(B\rho sin\theta)^2 = - \rho^2 cos^2\theta - \rho^2 sin^2 \theta = - \rho^2 (cos^2\theta + sin^2 \theta) = - \rho^2 $

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 18/07/2019, 11:50
da pilloeffe
Se si interseca il paraboloide proposto con piani orizzontali di equazione $z = k = - r^2 < 0 $ con $r > 0 $ si ottiene l'equazione seguente:

$ax^2 + by^2 = r^2 $

Con la già più volte citata trasformazione di coordinate si ha:

$ \rho^2 cos^2\theta + \rho^2 sin^2 \theta = r^2 $

$\rho^2 = r^2 $

$\rho = r $

Quest'ultima è proprio l'equazione polare di una circonferenza.