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Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 07:44
da matos
Ciao a tutti, sono alle prese con il tentare di parametrizzare questo paraboloide (o almeno quel che sembra esserlo a me).

Vorrei chiedervi due cosette: 1) dove sbaglio nel mio metodo, perché non capisco l'errore, 2) se gentilmente mi potreste mostrare la via corretta di farlo.
in ogni caso grazie mille davvero.

Ho:
$z=-ax^2-by^2, a>=b>0$

La mia idea è stata:
$-z=ax^2+by^2$
Dunque:

$X=\sqrt(1/a)cos\theta$
$Y=\sqrt(1/b)sin\theta$
$Z=-\sqrt(1/a)cos\theta-\sqrt(1/b)sin\theta$

cioè per $ax^2+by^2$ ho scritto l'ellisse: $(\sqrt(1/a)cos\theta,\sqrt(1/b)sin\theta)$ e sostituito per ottenere z. Ma perché è sbagliato?

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 10:46
da pilloeffe
Ciao matos,

Stai facendo un po' di confusione con le variabili: se hai $x$ poi non puoi parametrizzare con $cosx $... :wink:

Supponendo che sia $a > 0 $ e $b > 0 $, $z = f(x,y) = - ax^2 - by^2 $ è una funzione pari avente dominio $D = \RR^2 $ e codominio $C = (-\infty, 0] $: si tratta di un paraboloide ellittico avente massimo $z = 0 $ nel punto $O(0, 0) $. Dato poi che hai $x >= y > 0 $, significa che siamo nell'ottante caratterizzato da $ x > 0 $, $y > 0 $ e $z <= 0 $: prova a farti un disegno della situazione.
Tutto quanto sopra premesso, la prima parametrizzazione che mi viene in mente è quella che fa uso delle coordinate cilindriche (cilindro ellittico).

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 12:30
da matos
Guarda devi scusarmi ma ho sbagliato a scrivere con le formule qui e mi sono confuso ma sulla carta erano riportate come ho scritto adesso (ho editato il precedente) se avessi voglia di riguardare.

Devi proprio scusarmi :)
anche le condizioni sono su a e b non su x,y. Non so davvero cosa avessi visto. Diciamo che il pasticcio esce sulle Z perché non posso raccogliere a causa dei coefficienti e credo sia anche sbagliata scritta così. Ma non capisco come diventerebbe in tale parametrizzazione. Vorrei capire questo errore prima di provare le cilindriche, perché devo sbagliare proprio concettualmente

grazie per il tuo intervento

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 13:55
da pilloeffe
matos ha scritto:grazie per il tuo intervento

Prego! :smt023

Beh, non vedo dove sia il problema, anzi con la correzione che hai operato la trasformazione in coordinate ellittiche è anche più semplice:

$\{(x = A\rho cos\theta),(y = B\rho sin\theta),(z = z):}$

ove $A = \sqrt{1/a} $, $B = \sqrt{1/b} $, $\rho >= 0 $, $0 <= \theta < 2\pi $ e $ z <= 0 $

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 15:35
da matos
Ho capito, quindi l'errore era nel cercare di sostituire X e Y in Z?

Poi avrei una seconda e ultima domanda da porti al riguardo: ma rho devo mettercelo per forza? Non capisco bene cosa mi rappresenti. Se non lo mettessi otterrei solo la superficie forse?

grazie ancora :)

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 18:49
da pilloeffe
matos ha scritto:ma $\rho $ devo mettercelo per forza?

Eh beh direi, anche perché è un tantino fondamentale:

$ z = - ax^2 - by^2 = - (ax^2 + by^2) = - (\rho^2cos^2\theta + \rho^2 sin^2\theta) = - \rho^2 <= 0$

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 19:41
da matos
Ma sbaglio o è giusto che se non metto rho è come se parametrizzassi solo la superficie del paraboloide? insomma rho mi da il "volume". Scusa la domanda ma vorrei figurarmi geometricamente se ho interpretato bene :)

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 16/07/2019, 22:55
da pilloeffe
matos ha scritto:Ma sbaglio o è giusto che se non metto $\rho $ è come se parametrizzassi solo la superficie del paraboloide?

Non ho capito bene cosa intendi con questa frase, ma comunque sbagli. Poi $\rho $ nelle coordinate cilindriche ellittiche ci vuole, non è che puoi scegliere se metterlo o non metterlo... :wink:
matos ha scritto:[...] vorrei figurarmi geometricamente [...]

Come ti dicevo qualche post fa, se vuoi renderti conto della situazione la cosa migliore è farti un bel disegno. Il paraboloide in questione ha vertice coincidente col punto $O(0, 0, 0) $ e per il resto sta tutto sotto il piano orizzontale di equazione $z = 0 $.
Si chiama paraboloide ellittico perché se lo si seziona con piani orizzontali di equazione $z = k < 0 $ si ottengono delle ellissi che diventano sempre più grandi man mano che ci si allontana dal vertice del paraboloide.

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 17/07/2019, 06:33
da matos
Hai ragione :) in effetti senza rho ora ho capito, parametrizzerei un cilindro!

Ma ancora un'ultima cosetta: ma secondo te è possibile parametrizzare con due soli parametri, mi accorgo infatti che per determinare il paraboloide in cartesiane bastano x e y, z è data dal legame di queste due. Vorrei, se possibile, fare la stessa cosa usando rho e theta cioè usare solo due variabili e non anche z per l'altezza (curiosità)

Re: Parametrizzare un paraboloide

MessaggioInviato: 17/07/2019, 08:29
da pilloeffe
matos ha scritto:in effetti senza $\rho $ ora ho capito, parametrizzerei un cilindro!

No... Senza $\rho $, significherebbe $\rho = 0 \implies x = y = 0 \implies z = 0 $ e quindi otterresti il solo punto $O(0, 0, 0) $.
matos ha scritto:secondo te è possibile parametrizzare con due soli parametri, mi accorgo infatti che per determinare il paraboloide in cartesiane bastano x e y, z è data dal legame di queste due. Vorrei, se possibile, fare la stessa cosa usando rho e theta cioè usare solo due variabili e non anche z per l'altezza (curiosità)

Questa non l'ho capita: hai già due parametri $\rho $ e $\theta $ che prendono il posto di $x $ e $y $... :wink: