La derivata che hai calcolato l'hai verificata? perché mi risulta sbagliata, inoltre non è vero che esiste $xi in (a,b)$ per cui l'uguaglianza
$f(x)=sum_(n=0)^(2)(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n+(f^((3))(xi))/(3!)(x-x_0)^3$
valga per ogni $x in (a,b)$; il valore $xi in(a,b)$ dipende sia da $x_0$ sia da $x$
Non a caso ho messo quel $norm(f^(n+1))_(infty):= s u p_(xi in (a,b))abs(f^(n+1)(xi))$
per decidere una buona approssimazione bisogna lavorare sulla quantità
$p_n(t)=norm(f^((n+1)))_(infty)/((n+1)!)int_(a)^(b)abs(x-t)^(n+1)dx$
è chiaro che puoi cercare di minimizzare la coppia (n,t) ma è sufficiente capire anche con cosa si ha a che fare; in questo caso le derivate diventano noiose(da calcolare) già dal terzo ordine in poi. Per esercitarti ti conviene partire da $n=1$ per svolgere qualche conto
$ p_(1)(t)=norm(f^((2)))_(infty)/2int_(0)^(log(2))(x-t)^2dt=norm(f^((2)))_(infty)/6[(log(2)-t)^3+t^3]=norm(f^((2)))_(infty)/6(log^3(2)-3tlog^2(2)+3t^2log(2)) $
bisogna minimizzare $p_1$ in modo tale da trovare il centro di sviluppo migliore
è chiaro che essendo una parabola il punto di minimo è $t=(log(2))/2$
mentre il minimo dell'integrale è $(log^3(2))/4$
la derivata seconda è una funzione decrescente quindi $norm(f^((2)))_(infty)=f^((2))(0)=(24)/(10^2)$
pertanto l'errore commesso $leqp_1(t)=(24/10^2)*1/6*(log^3(2))/4=(log^3(2))/10^2<1/10^2$
di fatto $2<e => log(2)<log(e)=1 => log^3(2)<1 => (log^3(2))/10^2<1/10^2$
in realtà è circa $0.0033$ quindi è parecchio minore di $0.01$
quindi si ha un'ottima approssimazione con
$int_(0)^(log(2))f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)dx=log(2)*arctan(1/(3sqrt2))$
dove $f'(x_0)$ puoi anche non calcolarlo poiché $int_(0)^(log(2))(x-log(2)/2)dx=0$
L'unica cosa calcolosa è data giusto dal dimostrare che $f^((2))(x)$ sia decrescente