Integrali con errore 10^-2
Inviato: 11/08/2019, 21:21
E' il mio primo esercizio di questo tipo, quindi volevo chiedere pareri.
"Calcolare con errore inferiore a 0.01 l'integrale:
$ int_(0)^(ln2) arctan((e^-x)/3) dx $ "
$ e^-x=1-x+x^2/2-x^3/6+o(x^3) $
$ e^-x/3=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
$ arctan(x)=x+o(x) $
$ arctan(e^-x/3)=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
cioè $ sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) $
Quindi:
$ int_(0)^(ln2) sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) int_(0)^(ln2) x^n dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) [ln2^(n+1)/(n+1)] = $
Comincio a sostituire i valori di k fino al termine minore di $ 10^-2 $.
$ = ln2/3-(ln2)^2/6 $
La soluzione è $ (2ln2-(ln2)^2)/6 $ ~ $ 0.15 $
"Calcolare con errore inferiore a 0.01 l'integrale:
$ int_(0)^(ln2) arctan((e^-x)/3) dx $ "
$ e^-x=1-x+x^2/2-x^3/6+o(x^3) $
$ e^-x/3=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
$ arctan(x)=x+o(x) $
$ arctan(e^-x/3)=1/3-x/3+x^2/6-x^3/18+o(x^3) $
cioè $ sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) $
Quindi:
$ int_(0)^(ln2) sum_(k=0) ((-1)^nx^n)/(3n!) dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) int_(0)^(ln2) x^n dx = $
$ sum_(k=0) (-1)^n/(3n!) [ln2^(n+1)/(n+1)] = $
Comincio a sostituire i valori di k fino al termine minore di $ 10^-2 $.
$ = ln2/3-(ln2)^2/6 $
La soluzione è $ (2ln2-(ln2)^2)/6 $ ~ $ 0.15 $