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Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 13/08/2019, 12:52
da Gianni_Volto
Ciao a tutti ho la seguente serie di funzioni:

$sum_(n=1)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)$

La richiesta è di studiarne convergenza puntuale, uniforme e totale.

Per quanto riguarda la conv puntuale ho ragionato così:

$|x/(\sqrt(n)(1+nx^2))| <= |x|/(\sqrt(n)+n^(3/2)x^2) <= |x|/(x^2n^(3/2))$

Sfruttando quindi la convergenza assoluta e il criterio del confronto concludo che la serie di partenza converge puntualmente su tutto l’insieme dei reali.

Sono poi passato a studiare la convergenza uniforme tramite la definizione ma non sono riuscito a concludere niente:

$lim_(N -> +\infty) Sup_(x \epsilon R) |sum_(n=N)^\infty 1/\sqrt(n)x/(1+nx^2)|$ = ...

Qualche volta qui si risolve con proprietà delle serie di Leibniz o con serie geometriche per cui possiamo trovare la somma, non mi sembra però questo il caso :? :?

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 12:51
da dissonance
Intanto nota che è sufficiente studiare la serie su \([0, \infty)\). Poi, continua a sfruttare la maggiorazione che già hai trovato. Cosa succede per \(x\in [a, \infty)\), dove \(a>0\) è un numero fissato? Ricordati il test di Weierstrass (anche noto come "test per la convergenza totale").

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 14:26
da Gianni_Volto
Avevo pensato di sfruttare la convergenza totale limitandomi per esempio all’intervallo $[0,\infty)$ .
Calcolando la derivata ottenevo il sup per $x=1/N$ e quindi poi non ottenevo convergenza totale.

Ripensandoci però se restringo il dominio su $[a,\infty)$ come da te suggerito forse riesco a dire qualcosa in più... Per esempio, visto che a noi interessa il comportamento della “coda” della serie, fissato $a$ è possibile trovare un indice $N$ tale che $1/N$ Sia più piccolo di a e quindi il sup della $f_n(x)$ sarà in $a$.

A questo punto $Sup_[a,\infty)|f_n(x)|= (a)/(n^(3/2)a^2+n^(1/2))$ ed ovviamente abbiamo convergenza totale.

Può andare?

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 15:12
da dissonance
Si, va bene. Nota che la serie converge totalmente su \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\), per simmetria.

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 15:14
da dissonance
Ah, comunque, non hai fatto una cosa semplice ma importante: porta la \(x\) fuori dal simbolo di sommatoria. Puoi farlo, non dipende da \(n\). Cosa puoi dire adesso sulla convergenza?

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 15:45
da Gianni_Volto
Allora vediamo

1) Il fatto della simmetria vale perché la funzione è dispari giusto?

2) Sapevo che portare fuori la x è un'operazione lecita in questo caso ma non ne vedevo i vantaggi. Ho provato adesso a studiarla con la x fuori ma mi sembra di riottenere le stesse conclusioni di prima, ovvero convergenza totale su $(-\infty,-a] [a,\infty)$ e convergenza puntuale su tutto R

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 15:48
da dissonance
Sicuro? Convergenza puntuale su tutto \(\mathbb R\)?

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 16:06
da Gianni_Volto
Mmm effettivamente se considero la serie con 1 al numeratore al posto di x e sostituisco x=0 la serie diverge, però io pensavo che essendo moltiplicata per 0 comunque si poteva considerare la convergenza su R

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 16:40
da dissonance
Certo, ma infatti hai ragione, la serie originale converge puntualmente su tutto \(\mathbb R\). Inoltre la serie converge totalmente, e quindi anche uniformemente, su \((-\infty, -a]\cup [a, \infty)\) per ogni \(a>0\). Resterebbe da studiare la convergenza uniforme su tutto \(\mathbb R\). Siccome abbiamo visto che in \(0\) succedono cose strane, probabilmente sarà il caso che la serie non converge uniformemente su tutto \(\mathbb R\). Certo, bisognerebbe dimostrarlo.

Re: Convergenza uniforme serie di funzioni

MessaggioInviato: 14/08/2019, 17:10
da Gianni_Volto
Ecco se posso rubarti proprio altri 5 minuti del tuo tempo, volendo studiare la convergenza uniforme su un intervallo del tipo $[0,\infty)$ come potrei muovermi?