Massimi e minimi di una iterazione di funzione

Salve a tutti,
svolgendo gli esercizi di ammissione della SNS dello scorso anno ho notato nelle soluzioni una cosa che non riesco a capire.
Il testo propone una funzione definita a tratti:

$ f(x){ ( x/a per x<= a/(a+b) ),( (1-x)/b per x> a/(a+b) ):} $

e definisce $ f_n = f o fo\...of $ n volte

(es: f2 = f o f)



Poi chiede:
"Per a = 1/2 e b = 1/3 si disegni il grafico della funzione f2(x) = f(f(x)) e si determini il valore massimo assunto da tale funzione."

Ora, il grafico è chiaro e il procedimento per disegnarlo anche, tuttavia nelle soluzioni si trova scritto:
"Il massimo di f2 è uguale al massimo di f. Si osserva infatti in generale che il massimo di f è assunto nell'intervallo [0,1] e che su [0,1] la funzione f assume tutti i valori compresi in [0,1]. Significa che fn+1 = f o fn ha lo stesso valore massimo di fn e in ultima analisi di f. Il valore massimo di ogni fn è dunque f(a/(a + b)) = 1/(a + b) = 6/5. "

Non capisco il collegamento tra le due parti: siccome il massimo di f è in [0,1] e in [0,1] la funzione è continua, allora f2 ha lo stesso massimo di f. Perché? Vale solo in questo caso o è una specie di proprietà della composizione di funzioni che mi sfugge?

Voglio dire, vale in generale che se g(x) ha il massimo in un tratto continuo, allora f(g(x)) avrà lo stesso massimo di g? Oppure accade solo in questo caso in cui f viene composta a se stessa?



Per completezza allego l'intero esercizio e l'intera spiegazione










Grazie mille

La funzione \(f\) assume massimo in \(x_\star\in [0,1]\). Siccome \(f\) assume tutti i valori tra \(0\) e \(1\), esiste \(y_\star\) tale che \(f(y_\star)=x_\star\). Quindi \(f(f(y_\star))=f(x_\star)=\mathrm{massimo}\).

Ok grazie. Ora è più chiaro. Avevo interpretato male "f assume tutti i valori tra 0 e 1"