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Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.

I punti di sella ognuno li definisce come più gli fa comodo… Dipende da cosa deve/vuole farci, se metterli addosso ad un cavallo o meno.

dissonance ha scritto:Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.

Grazie, questo lo so perché ho già scritto le due diverse definizioni con un esempio. La mia domanda è in fondo ed è basata sulla seconda definizione

@ dissonance:

dissonance ha scritto:Non lo so, ma occhio che le due definizioni NON sono equivalenti. Per la funzione \(f(x, y)=x^3\), l'origine è di sella per la prima definizione ma non lo è per la seconda.

Grazie, questo lo so perché ho già scritto le due diverse definizioni con un esempio. La mia domanda è in fondo ed è basata sulla seconda definizione

@ gugo82:

gugo82 ha scritto:I punti di sella ognuno li definisce come più gli fa comodo… Dipende da cosa deve/vuole farci, se metterli addosso ad un cavallo o meno.

Grazie ma non è una risposta alla mia domanda. Considerando valida solo la seconda definizione non capisco questo:

"Pertanto, x0 è punto di sella per f se e solo se è possibile trovare un vettore v2 nel
nucleo della matrice Hf(x0) tale che la funzione t→ f(x0 + tv2) abbia un punto
di massimo stretto in t = 0. In modo analogo si procede se Hf(x0) è semi-definita
negativa." Perché se solamente nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo x0 non è un punto di sella? Secondo quanto detto prima, perché non potrebbe esserci un'altra direzione diversa dall'autovettore associato a λ=0 in cui f ha un massimo (se nella direzione dell'autovettore associato all'autovalore λ=0 la funzione non ha un massimo)?

Non è molto chiaro come hai scritto, ma comunque credo di capire cosa tu intenda. Lungo un autovettore corrispondente a un autovalore con segno, è chiaro cosa succede: se l'autovalore è negativo, hai un massimo, se è positivo hai un minimo. E questo non è altro che un teorema familiare di analisi 1: se la derivata prima di una funzione di una variabile si annulla, e la derivata seconda è positiva, allora il punto è un minimo.

Quindi, l'unico caso in cui non si può dire niente è quello in cui l'autovalore si annulla. Per quello il testo parla proprio di quel caso.

dissonance ha scritto:Non è molto chiaro come hai scritto, ma comunque credo di capire cosa tu intenda. Lungo un autovettore corrispondente a un autovalore con segno, è chiaro cosa succede: se l'autovalore è negativo, hai un massimo, se è positivo hai un minimo. E questo non è altro che un teorema familiare di analisi 1: se la derivata prima di una funzione di una variabile si annulla, e la derivata seconda è positiva, allora il punto è un minimo.

Quindi, l'unico caso in cui non si può dire niente è quello in cui l'autovalore si annulla. Per quello il testo parla proprio di quel caso.

Non è chiaro perché forse è stato cancellato il testo della domanda, non so per quale motivo. Ne riscrivo una parte breve che centra la questione:
"esistono una direzione lungo la quale f ha un punto di massimo in x0 ed una direzione lungo la quale f ha un punto di minimo in x0. Più precisamente, devono esistere due vettori [quindi 2 direzioni fra le infinite possibili] v1 e v2 tali che le funzioni t → f(x0 + tvi), i = 1, 2, abbiano rispettivamente un punto di minimo e un punto di massimo stretti per t = 0."

Per cui una direzione è fornita da qualsiasi autovettore associato all'autovalore λ > 0 , mentre la seconda direzione (lungo la quale f ha un punto di massimo in x0) si può trovare tra tutte le altre infinite direzioni, invece il testo afferma che se lungo la direzione (una sola fra le altre restanti che sono infinite) corrispondente all'autovettore associato all'autovalore λ=0 f non ha un punto di massimo in x0 allora non ci sono altre direzioni lungo le quali f ha un punto di massimo in x0.

E si, ma la risposta è nel mio post precedente. L'unico autovalore che ti può dare problemi è lo zero, ma se tu hai una ipotesi che ti dice: sulla direzione associata a zero non c'è un massimo, allora non c'è altro da dire.

dissonance ha scritto:E si, ma la risposta è nel mio post precedente. L'unico autovalore che ti può dare problemi è lo zero, ma se tu hai una ipotesi che ti dice: sulla direzione associata a zero non c'è un massimo, allora non c'è altro da dire.

Scusa ma non capisco perché la direzione associata all'autovettore corrispondente all'autovalore 0 esclude tutte le rimanenti infinite direzioni, potresti spiegarmelo? Forse centra con il fatto che tutte le direzioni sono combinazioni lineari degli autovalori che sono una base...

Il tuo dubbio non è di analisi ma di algebra lineare. Ricordati che le matrici simmetriche, come la matrice Hessiana, sono diagonalizzabili.

dissonance ha scritto:Il tuo dubbio non è di analisi ma di algebra lineare. Ricordati che le matrici simmetriche, come la matrice Hessiana, sono diagonalizzabili.

Questo lo so, ma non trovo il nesso di questo con il fatto che una singola direzione, seppure sia quella di un autovalore, che non ha tale "proprietà" esclude che tutte le altre abbiano quella "proprietà".