Massimi e minimi relativi con hessiano nullo

Ho questa funzione con hessiano nullo per (0,0):

$ f=yln(1+x^3)-y^2 $

Ho studiato il suo segno lungo x=0 ed è negativa. Inoltre cresce prima dell'origine e decresce dopo.
Lungo y=0 è costante.

Pensavo fosse un massimo relativo, ma il grafico su Geogebra mostra un punto di minimo.
Come faccio in questi casi a capire com'è la funzione?
Devo prendere un punto a caso e vedere se il valore assunto è maggiore o minore di quello in (0,0)?

Hai che \(f(0, y) = -y^2\), quindi lungo questa restrizione la funzione ha un massimo relativo nell'origine.
D'altra parte
\[
f(x, x^3/2) = \frac{x^3}{2} \log(1+x^3) - \frac{x^6}{4} \sim \frac{x^6}{4},
\quad x\to 0,
\]
quindi lungo questa restrizione la funzione ha un punto di massimo relativo.

(Equivalentemente, la funzione assume valori sia negativi - lungo la prima restrizione - che positivi - lungo la seconda - in ogni intorno dell'origine.)

L'origine non è dunque punto di estremo relativo.

Quindi è un punto di sella?

Se avessi studiato f(x,0)=0 e avessi notato che la funzione è costante lungo tutto l'asse x con valore zero, avrei potuto dedurre la stessa cosa?
Se la funzione cresce prima dell'origine e decresce dopo l'origine lungo l'asse y restando però costante lungo l'asse x, posso sapere per certo che il punto è una sella?

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Quindi è un punto di sella?

Dipende dalla definizione che ti è stata data. Alcuni autori chiamano punto di sella un punto in cui l'Hessiana ha autovalori sia positivi che negativi, altri usano altre definizioni.
La cosa certa è che il punto individuato non è né di massimo né di minimo (poi ognuno lo chiami come preferisce).

Se avessi studiato f(x,0)=0 e avessi notato che la funzione è costante lungo tutto l'asse x con valore zero, avrei potuto dedurre la stessa cosa?
Se la funzione cresce prima dell'origine e decresce dopo l'origine lungo l'asse y restando però costante lungo l'asse x, posso sapere per certo che il punto è una sella?

No. Se la funzione è nulla lungo una direzione e ha un massimo lungo un'altra direzione, potrebbe avere un punto di massimo (anche se non stretto). Pensa alla funzione \(f(x,y) = -y^2\), che nell'origine (e in tutti i punti dell'asse \(x\)) ha un punto di massimo.

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Ciao Righello!
È sempre un piacere rileggerti.