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Ciao di nuovo ,

c'è una domanda che mi pongo, in particolare mi chiedevo: dato che la parte realedi un complesso posso rappresentarla sia come $a$ (se ho a+ib) e come $R*cos theta$, valecioè $a=R*cos theta$.

Sono tuttavia perplesso sul come mostrarmi che derivando $a$ (mettiamo $a$ sia una funzione di una certa $t$ e si vuole svolgere $(d(a(t)))/(dt)$)) se derivo $R*cos theta$ rispetto alla data $t$ non mi pare di ottenere lo stesso risultato (ad esempio se $theta$ dipendesse da quel $t$ mi ritroverei con un seno!)

Eppure dovrebbero essere la stessa cosa, la rappresentazione nelle due forme mi dice che lo sono, ma non vedo come farmi tornare le cose in questo caso.

Non campisco il problema…

Hai, diciamo, una funzione complessa $z(t) := a(t) + mathbb(i) b(t)$ di una variabile reale $t$ definita, mettiamo, in un intervallo.
A parte la rappresentazione algebrica, la funzione $z$ ha anche la rappresentazione esponenziale $z(t) = r(t) * (cos theta(t) + mathbb(i) sin theta(t))$.

Ora, derivando si ha $z’(t) = a’(t) + mathbb(i) b’(t)$ ovvero $z’(t) = (r’(t) cos theta(t) - r(t) theta’(t) sin theta(t)) + mathbb(i) (r’(t) sin theta(t) + r(t) theta’(t) cos theta(t))$, sicché risulta $\{ ( a’(t) = r’(t) cos theta(t) - r(t) theta’(t) sin theta(t)), (b’(t) = r’(t) sin theta(t) + r(t) theta’(t) cos theta(t)) :}$… Quindi?

Quindi boh (...direi domanda stupida ), in effetti non so perché pensavo fosse sbagliata come considerazione. Intendevo proprio una cosa del genere.

Posso chiederti un ulteriore approfondimento?
Cercando di capire questa faccenda ho letto un po su internet e ho visto la definizione di derivata complessa e che si parlava di condizioni di cauchy riemann per definire tle funzione olomorfa (necessarie e sufficienti per definirne la derivabilità su tutto il dominio di definizione) e il fatto che le funzioni complesse sono del tipo $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$.

Nel caso della funzione a cui pensavo io $z(t)$, però, non dipende da x e y (di $x+iy$) ma solo da una certa t. In teoria quindi è un caso diverso dalla definizione di derivata complessa di funzione complessa, giusto?
Insomma non riesco bene a capire.

gugo82 ha risposto al tuo dubbio, riferendosi alla tua situazione: funzione complessa di variabile reale.
Il tuo secondo esempio è diverso: funzione complessa di variabile complessa.

Capito, avete ragione. Scusatema sto preparando analisi 1 e certevolte mi vengono curiosità che vedo appartengono af altri tipi di analisi (credo).
Tipo CR non le ho trattate nel mio corso
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Tornando alla domanda iniziale, semplificando quanto diceva gugo ovvero mettiamo $r'(t)=1$

Avrei dopo la derivazione di $cos\theta(t)+isin\theta(t)$ la forma: $-\theta'(t)sin\thetat+i\theta'(t)cos\theta(t)$

Quello che mi sconquifferava era che avessi una rappresentazione con seni e coseni al contrario, mi chiedo quindi se fosse corretto sfruttando gli archi associati portarmi a:

$\theta'(t)cos(pi/2+\theta(t))+i\theta'(t)sin(pi/2+\theta(t))$

Non so perché ma questo manipolare i complessi mi turba, penso sempre di sbagliare.

Vi ringrazio molto per gli aiuti