Studio di una successione

Eccomi :

x=1 $a1=1$
x=2 $a2 =-0,707$
x=3 $a3 =1,42$
x=4 $a4 =-3$
x=5 $a5 =1,55$
x=6 $a6 =-0,408$

Noto che la successione per x dispari, è crescente,per x pari l'andamento non è regolare...poiché prima decresce e poi cresce...come procedo adesso?

E chi dice che non sia regolare?

Scrivendo esplicitamente un po’ di termini (e finalmente!) abbiamo capito che i termini dispari ed i termini pari della successione esibiscono comportamenti differenti.
In particolare, gli $a_x$ con $x$ dispari sembrano positivi e crescenti, mentre quelli con $x$ pari sembrano negativi e (definitivamente) crescenti.
Riusciamo a dimostrarlo?

Come bisogna fare?
Innanzitutto, sostituire $x = 2n + 1$, calcolare $a_(2n + 1)$ esplicitamente e cercare di capire se tale sottosuccessione è effettivamente sempre positiva, crescente e, nel caso, limitata e/o regolare.
Stessa cosa con l’altra sottosuccessione, corrispondente a $x = 2n$.

Dopodiché, vediamo che conclusioni trarre da quanto dimostrato.

E chi dice che non sia regolare?

Scrivendo esplicitamente un po’ di termini (e finalmente!) abbiamo capito che i termini dispari ed i termini pari della successione esibiscono comportamenti differenti.
In particolare, gli $a_x$ con $x$ dispari sembrano positivi e crescenti, mentre quelli con $x$ pari sembrano negativi e (definitivamente) crescenti.
Riusciamo a dimostrarlo?

Come bisogna fare?
Innanzitutto, sostituire $x = 2n + 1$, calcolare $a_(2n + 1)$ esplicitamente e cercare di capire se tale sottosuccessione è effettivamente sempre positiva, crescente e, nel caso, limitata e/o regolare.
Stessa cosa con l’altra sottosuccessione, corrispondente a $x = 2n$.

Dopodiché, vediamo che conclusioni trarre da quanto dimostrato.

Quindi avremo :
$ a_(2n + 1) $$ = (1-2sqrt(2n+1))/(2n+1-sqrt(2n+1)+(-1)^(2n+1)(2n+1))$
Come faccio a capire se è effettivamente sempre positiva?Devo studiare il segno come se fosse una funzione?

Fai come i vecchi antichi: ti sporchi le mani conti.

Innanzitutto, semplifica il semplificabile. Quanto fa $(-1)^(2n+1)$?
Poi, razionalizza il razionalizzabile (se è il caso).
Ed infine prova a verificare la monotonia o studiando la funzione che genera la successione o cercando di usare la definizione.

Fai come i vecchi antichi: ti sporchi le mani conti.

Innanzitutto, semplifica il semplificabile. Quanto fa $(-1)^(2n+1)$?
Poi, razionalizza il razionalizzabile (se è il caso).
Ed infine prova a verificare la monotonia o studiando la funzione che genera la successione o cercando di usare la definizione.

2n+1 sarebbe il successivo di un numero dispari , dunque $ (-1)^(2n+1) = -1 $ Esatto?

Scusa, perché $2n+1$ sarebbe il “successivo di un numero dispari”?
Quanto vale $2 n+1$ per i primi valori di $n$?

Al massimo è il successivo di un numero pari, i.e. di $2n$…

Scusa, perché $2n+1$ sarebbe il “successivo di un numero dispari”?
Quanto vale $2 n+1$ per i primi valori di $n$?

Al massimo è il successivo di un numero pari, i.e. di $2n$…

Certo,intendevo dire questo , ma il successivo di un numero pari è un numero dispari , sostituendo alla n qualsiasi valore(in 2n+1) si ottiene sempre un numero dispari , per qualsiasi valore naturale.Dico bene?
E poi per dimostrare la crescenza per gli n dispari, devo impostare questa disuguaglianza: $ a(2n+1)>a(2n) $?

Scusa, perché $2n+1$ sarebbe il “successivo di un numero dispari”?
Quanto vale $2 n+1$ per i primi valori di $n$?

Al massimo è il successivo di un numero pari, i.e. di $2n$…

Certo,intendevo dire questo , ma il successivo di un numero pari è un numero dispari , sostituendo alla n qualsiasi valore(in 2n+1) si ottiene sempre un numero dispari , per qualsiasi valore naturale.Dico bene?

Sì.

E poi per dimostrare la crescenza per gli n dispari, devo impostare questa disuguaglianza: $ a(2n+1)>a(2n) $?

No.

Se in $a_(2n+1)$ sostituisci $n+1$ al posto di $n$ cosa ottieni?

Scusa, perché $2n+1$ sarebbe il “successivo di un numero dispari”?
Quanto vale $2 n+1$ per i primi valori di $n$?

Al massimo è il successivo di un numero pari, i.e. di $2n$…

Certo,intendevo dire questo , ma il successivo di un numero pari è un numero dispari , sostituendo alla n qualsiasi valore(in 2n+1) si ottiene sempre un numero dispari , per qualsiasi valore naturale.Dico bene?

Sì.

E poi per dimostrare la crescenza per gli n dispari, devo impostare questa disuguaglianza: $ a(2n+1)>a(2n) $?

No.

Se in $a_(2n+1)$ sostituisci $n+1$ al posto di $n$ cosa ottieni?

Ottengo $a(2n+3)$, quindi come dovrei impostarla?
$a(2n+3)>a(2n+1)$

Sì.