Parametrizzazione della frontiera di D

[livai]

salve,
ho trovato estrema difficoltà nel definire la frontiera di tale esercizio:
Data il dominio $D={(x,y,z) in RR^3: x>=y^2+z^2 , x^2+2y^2+2z^2<=3}$
determinare una parametrizzazione della frontiera di D; fare un disegno qualitativo di D.

io ho provato in questo modo:
frontD$=\xi1 uu \xi2$
con $\xi1={(x,y,z) in RR^3: z=+-sqrt(x-y^2) , x^2+2x-3<=0}$
$\xi2={(x,y,z) in RR^3: z=+-sqrt(3/2-x^(2)/2-y^2) , x^2+2x-3<=0}$
quindi ora ho studiato:
i campi di esistenza delle due funzioni f(x,y)=z:
per $\xi1$ ho $ y^2<=x -> -x<=y<=x$
per $\xi2$ ho $ 3/2-x^(2)/2-y^2>=0 -> x^2+y^2<=3/2$
entrambe le superfici variano per x: $x^2+2x-3<=0 -> -3<=x<=1$
a questo punto ottengo:
K=${(x,y) in RR^2: -x<=y<=x , x^2+y^2<=3/2 , -3<=x<=1}$
con $ f1:K-> in RR$ con $f1=+-sqrt(x-y^2)$
$ f2:K-> in RR$ con $f2=+-sqrt(3/2-x^(2)/2-y^2)$

non avendo la soluzione dell'esercizio, ho pubblicato qui per avere dei pareri e poterne discutere, eventualmente capire dove ho sbagliato.
Mi scuso, per sbaglio ho pubblicato in analisi base, quindi ho provveduto a spostare la domanda in analisi superiore, spero di non aver creato troppo disagio.
grazie per l'attenzione

[Luca.Lussardi]

Te l'avevo spostato io in analisi di base, questo non è un argomento di analisi superiore. Lo risposto di nuovo.

[anonymous_0b37e9]

Conviene procedere in coordinate cilindriche:

Superficie ellissoide

$\{(x=sqrt(3-2\rho^2)),(y=\rhocos\phi),(z=\rhosin\phi):} ^^ [0 lt= \rho lt 1] ^^ [0 lt= \phi lt 2\pi]$

Superficie paraboloide

$\{(x=\rho^2),(y=\rhocos\phi),(z=\rhosin\phi):} ^^ [0 lt= \rho lt 1] ^^ [0 lt= \phi lt 2\pi]$

Curva intersezione

$\{(x=1),(y=cos\phi),(z=sin\phi):} ^^ [0 lt= \phi lt 2\pi]$

[livai]

ho provato con le parametrizzazioni da te suggerite (anche se con capisco a cosa serva quella della curva intersezione):
-ho sempre diviso il bordo di D nell'unione delle due superfici:
$\xi1={(x,y,z) in RR^3: x=y^2+z^2 , x^2+2y^2+2z^2<=3}$
$\xi2={(x,y,z) in RR^3: x^2+2y^2+2z^2=3 , x>=y^2+z^2}$

-a questo punto parametrizzo le due funzioni:
per $\xi1$ : superficie paraboloide, la inserisco nella disequazione e ottengo
$\rho^4+2\rho^2<=3 $ che ha soluzione per $-1<=\rho<=1$
per $\xi2$: superficie ellissoide, giustamente ottengo lo stesso risultato di prima
$\rho^4+2\rho^2<=3$
per cui posso definire l'insieme K:
con $\sigma:K->RR^3$
$K={(\rho,\phi) in \RR^2: 0<=\rho<=1 , 0<=\phi<=2\pi}$
$\sigma1(\rho,\phi)=(\rho^2,\rhocos\phi,\rhosin\phi)$
$\sigma2(\rho,\phi)=(sqrt(3-2\rho^2),\rhocos\phi,\rhosin\phi)$