Re: Continuità e derivabilità

Messaggioda Rebb10 » 11/09/2019, 22:56

Ok! Pe ril secondo punto, calcolo il rapporto incrementale in $0$ quindi $lim_(h->0)(sin(e^(3h)-1)/(ah+bh^2)-3/a)/h$
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Re: Continuità e derivabilità

Messaggioda Bokonon » 12/09/2019, 15:09

La nostra funzione non era definita in x=0 ma abbiamo scoperto che era un punto di discontinuità facilmente eliminabile e abbiamo prolungato la funzione.
La seconda domanda chiede per quali valori di a e b la nostra funzione indicatice è anche derivabile in x=0.

Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.

Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.
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Re: Continuità e derivabilità

Messaggioda gugo82 » 14/09/2019, 10:16

Bokonon ha scritto:Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.

Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.

Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.

La strategia scritta da Reb10 è quella giusta: per dimostrare, senza aggiungere ipotesi ausiliarie, che una funzione è derivabile bisogna calcolare il limite del rapporto incrementale.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Continuità e derivabilità

Messaggioda Bokonon » 14/09/2019, 18:50

gugo82 ha scritto:Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.

In effetti hai perfettamente ragione.
Per l'esempio... https://www.matematicamente.it/forum/li ... ml#p685139 :)

(il sempreverde)
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