Continuità e derivabilità

Ok! Pe ril secondo punto, calcolo il rapporto incrementale in $0$ quindi $lim_(h->0)(sin(e^(3h)-1)/(ah+bh^2)-3/a)/h$

La nostra funzione non era definita in x=0 ma abbiamo scoperto che era un punto di discontinuità facilmente eliminabile e abbiamo prolungato la funzione.
La seconda domanda chiede per quali valori di a e b la nostra funzione indicatice è anche derivabile in x=0.

Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.

Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.

Prendi la funzione $y=x^(1/3)$. Non c'è bisogno di prolungarla perchè è perfettamente definita anche in x=0.
Ma è derivabile in x=0?
No, perchè le derivate destra e sinistra "coincidono" ma non sono finite.

Quindi, fai la derivata della funzione e studia il limite per $x->0$
A occhio dovrai lavorare un poco, perchè dovrai usare Taylor al numeratore sviluppandolo fino al grado necessario affinchè il rapporto non vada ad infinito indivduando al contempo quindi i valori di a e b.

Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.

La strategia scritta da Reb10 è quella giusta: per dimostrare, senza aggiungere ipotesi ausiliarie, che una funzione è derivabile bisogna calcolare il limite del rapporto incrementale.

Il “quindi” qui non ha senso.
Esistono funzioni derivabili in un punto, la cui derivata non ammette limite in quel punto. Trova un esempio.

In effetti hai perfettamente ragione.
Per l'esempio... https://www.matematicamente.it/forum/li ... ml#p685139

(il sempreverde)