da dissonance » 17/09/2019, 10:13
Mi è venuto in mente un esempio semplice e che forse è chiarificatore. Consideriamo la funzione
\[
f(x, y)=x+y\qquad \text{ per }(x, y)\in \Omega:=(0, 1)\times (0,1).\]
Chiaramente questa funzione è derivabile a volontà su \(\Omega\). Inoltre, ovviamente, \(f\colon \Omega\to \mathbb R\) è la restrizione ad \(\Omega\) di una funzione definita su un aperto più grande e derivabile a volontà; infatti,
\[
f=g|_{\Omega}, \qquad g(x, y):=x+y, \quad (x, y)\in \mathbb R^2.\]
La funzione \(g\) è definita su \(\mathbb R^2\), che è un aperto contenente strettamente \(\Omega\), ed è derivabile a volontà. Quindi, siamo tranquillamente nelle ipotesi richieste dal libro.
Il tuo dubbio è: perché richiedere che la funzione sia la restrizione di una funzione regolare? Perché dobbiamo coinvolgere un aperto più grande? Capisco che questo ti sembri strano, ma è davvero necessario. Sopra, avrei potuto scrivere
\[
f(x, y)=\lvert x\rvert + \lvert y \rvert,\]
perché se \((x, y)\in\Omega\) allora \(x>0, y>0\). E' esattamente la stessa cosa. Ma scritta così, la funzione fa pensare a qualcosa di non derivabile sul bordo di \(\Omega\).
La morale è: non ha senso parlare di derivabilità sul bordo di un aperto.