analisi 2, teorema di stokes

[Beppu95]

Buongiorno ragazzi, a breve ho l'esame di analisi 2 e stavo ripassando la teoria e rivedendo vecchi esercizi e mi sono imbattuto in un esercizio d'esame che mi ha dato di che pensare.
L'esercizio è il seguente:
Dato il campo vettoriale in $ R^3 $ $ f(x,y,x)=[(z-x);(x(1+z^2));(xy)] $ calcolare il flusso del rotore di F attraverso una superficie $ Sigma:=[z=1-x^2/4+y^2/9] $ . Impostare il calcolo dell'integrale doppio. Applicando il teorema di Stokes svolgere l'integrale sul bordo si $ Sigma $.
Allora, per quanto riguarda l'integrale lungo il bordo non ho avuto particolari difficoltà, parametrizzo l'ellisse e ottengo un integrale curvilineo di seconda specie di facile risoluzione. Il problema riguarda l'impostazione dell'integrale doppio. Come si parametrizza quella superficie? Ho provato a porre $ { ( x=2rhocostheta ),( y=3rhosintheta ),( z=1-rho ):} $ ma non so come sia la varianza di $ rho $. Allora ho provato a porre $ { ( x=u ),( y=v ),( z=1-u^2/4-y^2/9 ):} $ e mi son calcolato n, ma non riesco comunque a capire quali siano gli estremi di integrazione. Potrei avere qualche delucidazione a riguardo?

[pilloeffe]

Ciao Beppu95,

Ci sono diverse cose che non mi tornano nell'esercizio proposto...
Innanzitutto immagino che il campo vettoriale in $\RR^3 $ sia il seguente:

$ \mathbf{F}(x,y,z)=[z-x;x(1+z^2);xy] $

Poi se la superficie $\Sigma $ è quella che hai scritto

calcolare il flusso del rotore di $\mathbf{F}$ attraverso una superficie $\Sigma := [z=1−x^2/4+y^2/9] $.

si tratta di un paraboloide iperbolico, d'altronde

$z' := z - 1 = y^2/9 - x^2/4 $

per cui non si capisce quando scrivi

[...] parametrizzo l'ellisse e ottengo [...]

Poi le parametrizzazioni scritte dopo

Ho provato a porre [...]

sono entrambe errate se $\Sigma $ è quella che hai scritto inizialmente, perché invece sono le parametrizzazioni di $\Sigma' := [z=1−x^2/4-y^2/9] $ che è un paraboloide ellittico:

$ Z := 1 - z = x^2/4 + y^2/9 = x^2/2^2 + y^2/3^2 $

Per concludere questo è un classico caso in cui un segno errato fa la differenza...