serie arcotangente con parametro

è giusto scrivere questa serie in questo modo? Usando l'asintoticità dell'arcotangente
$\sum_{k=1}^\infty\ [arctan(1/k^(3\alpha))-1/k] = \sum_{k=1}^\infty\ [1/k^(3\alpha)-1/k] = \sum_{k=1}^\infty\ [1/k^(3\alpha -1)]$

L'ultima uguaglianza è falsa, rifai i conti.
Per la stima asintotica, che succede se $\alpha=\frac{1}{3}$?

L'ultima uguaglianza è falsa, rifai i conti.
Per la stima asintotica, che succede se $\alpha=\frac{1}{3}$?

Per $\alpha=1/3$ la serie diverge... Quindi la serie è asintotica a $1/k^(3\alpha)$

Arnett ha ragione, andrebbe specificato quando sono asintotiche e andrebbero messi degli $\text{o}$-piccolo o altrimenti non sono uguaglianze.
Perché dovrebbe divergere per $\alpha=\frac{1}{3}$? Scrivi i conti che hai fatto, perché converge.
Capito cosa succede per $\alpha=\frac{1}{3}$ puoi discutere il caso generale, tra l'altro $\alpha$ dove varia?

Non capisco perché per $\alpha=1/3$ la serie converge... Si comporta come una serie armonica generalizzata, no?

Usa lo stesso argomento della stima asintotica (mettendo gli $\text{o}$-piccolo), hai da studiare per $\alpha=\frac{1}{3}$ la serie
$$\sum_{k=1}^{+\infty} \left(\arctan \frac{1}{k} - \frac{1}{k}\right)$$
Mostrami perché secondo te diverge.

No, è vero perché se sviluppo al primo ordine l'arcotangente si annulla tutto, mentre sviluppando già al secondo ordine, il primo termine dello sviluppo $1/k$ va via e rimane $-1/(3k^3)$ che converge

Esatto, quindi hai notato che per $\alpha=\frac{1}{3}$ al primo ordine le due funzioni coincidono per $k\to+\infty$; dunque quel valore del parametro è una sorta di spartiacque, cosa succede se $\alpha>\frac{1}{3}$ e se $\alpha<\frac{1}{3}$?