Calcolo soluzioni di equazione complessa mediante coordinate polari
Inviato: 12/09/2019, 16:35
Si consideri l'equazione complessa:
\(\displaystyle (a+jb)^{2019} = (a-jb) \)
Il mio ragionamento per risolverla è il seguente: per le potenze, soprattutto di grado elevato, è utile la rappresentazione in coordinate polari dei numeri complessi; quindi, ponendo:
\(\displaystyle a + jb = \rho e^{j\theta}\)
\(\displaystyle a - jb = \rho e^{-j\theta}\)
la mia equazione diventa:
\(\displaystyle \rho^{2019}e^{j2019\theta} = \rho e^{-j\theta} \)
Siccome due numeri complessi coincidono quando hanno stesso modulo e stesso argomento, scrivo il seguente sistema:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho^{2019} = \rho \\
2019\theta = -\theta
\end{matrix}\right.
\)
che risolvendo si ottiene:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho = 1 \\
\theta = 0
\end{matrix}\right.\)
ossia \(\displaystyle z = 1 \), che è effettivamente una soluzione dell'equazione.
Il problema è che non è l'unica: si vede subito come, ad esempio, \(\displaystyle z = 0 \) sia soluzione dell'equazione, o anche \(\displaystyle z = j \).
La mia domanda è appunto la seguente: supponendo che il mio ragionamento sia corretto, per quale motivo non "restituisce" anche le altre soluzioni, ma soltanto una di esse? Vi ringrazio.
\(\displaystyle (a+jb)^{2019} = (a-jb) \)
Il mio ragionamento per risolverla è il seguente: per le potenze, soprattutto di grado elevato, è utile la rappresentazione in coordinate polari dei numeri complessi; quindi, ponendo:
\(\displaystyle a + jb = \rho e^{j\theta}\)
\(\displaystyle a - jb = \rho e^{-j\theta}\)
la mia equazione diventa:
\(\displaystyle \rho^{2019}e^{j2019\theta} = \rho e^{-j\theta} \)
Siccome due numeri complessi coincidono quando hanno stesso modulo e stesso argomento, scrivo il seguente sistema:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho^{2019} = \rho \\
2019\theta = -\theta
\end{matrix}\right.
\)
che risolvendo si ottiene:
\(\displaystyle \left\{\begin{matrix}
\rho = 1 \\
\theta = 0
\end{matrix}\right.\)
ossia \(\displaystyle z = 1 \), che è effettivamente una soluzione dell'equazione.
Il problema è che non è l'unica: si vede subito come, ad esempio, \(\displaystyle z = 0 \) sia soluzione dell'equazione, o anche \(\displaystyle z = j \).
La mia domanda è appunto la seguente: supponendo che il mio ragionamento sia corretto, per quale motivo non "restituisce" anche le altre soluzioni, ma soltanto una di esse? Vi ringrazio.