Integrazione densità di Laplace

[mobley]

Ciao a tutti ragazzi,
sebbene la domanda coinvolga variabili aleatorie e funzioni di densità scrivo qui perché le difficoltà che sto riscontrando sono puramente matematiche. Una v. di Laplace ha densità $f(x):=(\lambda)/2e^(-\lambda|x-\mu|),\forall x \in RR$.
Noto allora che $F(x):=\int f(x)dx$ scrivo per $x<0$:

$F(x):=mathbb(P)(X<=x):=\int_(-\infty)^(x) (\lambda)/2e^(-\lambda|x-\mu|)dx$

Porto fuori $1/2$ e ok. Quello che mi crea difficoltà è il modulo: se infatti avessi avuto ad es. $\lambdae^(-\lambdax)$ sarei andato a moltiplicare e dividere per $-x$ così da ricondurmi a un integrale notevole. Devo per caso andare di sostituzione con $z:=-\lambda|x-\mu|$? Se sì, come cambierebbero gli estremi di integrazione?

Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi!

[Bokonon]

Semplicemente, risolvi il modulo.
Quando $x>mu$ allora $f(x)=lambda/2e^(-lambda(x-mu))$
Quando $x<mu$ allora $f(x)=lambda/2e^(-lambda(mu-x))$
E' altresì chiaro che la funzione è simmetrica rispetto all'asse $x=mu$ (che è presumibilmente la media) ed essendo una funzione di densità, allora $int_(-oo)^mu f(x)dx=int_mu^(oo) f(x)dx=1/2$
Quindi se, ad esempio, $x>mu$ allora $int_(-oo)^x f(x)dx=1/2+int_(mu)^x f(x)dx$

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Si tratta della funzione di ripartizione della ben nota distribuzione di Laplace, dai un'occhiata ad esempio qui.

[mobley]

Grazie ad entrambi per le risposte.
@Bokonon: se vale quanto mi hai spiegato per il modulo, allora ho per $x<\mu$...

$mathbb(P)(X<=x):=\int_(-\infty)^(x)f(x)dx=\int_(-\infty)^(x)\lambda/2e^(-\lambda(\mu-x))dx=1/2e^(-\lambda\mu)\int_(-\infty)^(x)\lambdae^(\lambdax)dx=1/2e^(-\lambda\mu)[e^(\lambdax)]_(-\infty)^(x)=1/2e^(-\lambda(\mu-x))$

...e per $x>\mu$: $mathbb(P)(X>x):=1-mathbb(P)(X<=x)=1-1/2e^(-\lambda(x-\mu))$.

Questi risultati sembrerebbero coincidere con il link di Wiki che ha postato @pilloeffe (ad eccezione del parametro $\lambda$ di posizione che anziché in termini di "tasso della distribuzione" $1/\lambda$ è espresso in valore assoluto).

Dovrebbe essere corretto. Chiedo quindi conferma

[pilloeffe]

Beh, se nella trattazione del link che ti ho inviato poni $b := 1/\lambda > 0 $ si ottiene proprio la $f(x)$ proposta...