Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda frank03 » 13/09/2019, 09:47

Ho un dubbio riguardo le serie numeriche e a quando utilizzare la serie come somma di due serie.
Prendiamo come esempio la seguente serie:

$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $

Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:

$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $

La serie associata:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ è una serie convergente.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico.


Un secondo modo per risolvere la serie di partenza sarebbe utilizzare le operazioni tra serie numeriche, in modo tale da spezzare la serie di partenza come somma di due serie:

$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $ = $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ + $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n $

Ove:
La prima serie è una serie convergente, la seconda serie è una serie divergente.
Questo implica che la serie di partenza ... diverge.

Cosa sbaglio? Com'è possibile che escono due risultati non in accordo tra di loro?
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Re: Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda gugo82 » 13/09/2019, 15:51

frank03 ha scritto:Prendiamo come esempio la seguente serie:

$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $

Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:

$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $

Dimostralo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda Bokonon » 13/09/2019, 16:49

La serie armonica diverge e $1/n^2+1/n=(1+1/n)/n$

$(1+1/n)/n>1/n$
E per il criterio del confronto...
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Re: Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda Salvy » 13/09/2019, 17:39

frank03 ha scritto:Ho un dubbio riguardo le serie numeriche e a quando utilizzare la serie come somma di due serie.
Prendiamo come esempio la seguente serie:

$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $

Un primo modo per risolvere la serie sarebbe utilizzare il criterio del confronto asintotico:

$ an = 1/n^2+1/n ∼ 1/n^2 $

La serie associata:
$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ è una serie convergente.
Pertanto la serie di partenza converge per il criterio del confronto asintotico.


Un secondo modo per risolvere la serie di partenza sarebbe utilizzare le operazioni tra serie numeriche, in modo tale da spezzare la serie di partenza come somma di due serie:

$ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 +1/n $ = $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n^2 $ + $ sum_(n = \1)^(oo ) 1/n $

Ove:
La prima serie è una serie convergente, la seconda serie è una serie divergente.
Questo implica che la serie di partenza ... diverge.

Cosa sbaglio? Com'è possibile che escono due risultati non in accordo tra di loro?

È una somma di infiniti o di infinitesimi?
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Re: Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda frank03 » 13/09/2019, 19:20

Avete perfettamente ragione... Ho capito. Grazie mille per il vostro aiuto.
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Re: Dubbio sulle serie risolte tramite operazioni

Messaggioda dissonance » 14/09/2019, 00:51

Sicuro che hai capito? La relazione di asintotico che hai scritto nel primo post è una grossa cavolata. Sei sicuro che ti sia chiaro il perché?
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