Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 13/09/2019, 18:31

Ciao, potete dirmi solo il risultato che porta a voi questo esercizio per vedere se ho risolto correttamente $ E ={(x,y,z)inR^3t.c.0<=2x<=y,2z>=1,x^2+y^2+(z-1/2)^2<=1} $
$ int int int_(E)^() xy dx dy dz $
Grazie
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 13/09/2019, 19:53

Un'altra cosa.
Integrando per strati vi trovate un angolo $theta$ strano, compreso tra (0,20pi e pi/2) ? Perché mi ritrovo un'arctan2
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Bokonon » 13/09/2019, 20:12

bastian, è ora di essere più sicuro di te.
Prova a confermare i tuoi calcoli da solo, magari usando una variante (che forse non hai mai osato usare :) ).
Poni $z-1/2=w$ e riscrivi il tutto in funzione di x, y e w.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 13/09/2019, 20:41

Eh ma devo essere sicuro di aver fatto I calcoli bene perché non ho "prove del 9" per capire se ho fatto bene non avendo un risultato su questo esercizio, anche errori di calcolo.
Io ho integrato per fili con $rho$ tra 0e1 $theta$ tra $0,35pi$ e $pi/2$ e z tra 0 e $sqrt(1-rho^2)$
solo che $theta$ a causa dell'altra condizione è strano perché a un certo punto mi ritrovo un'arctan2 e viene $0,35pi$ mi sembra strano.
Quanto ti porta?
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 00:20

Non ti far spaventare dal termine poco frequente (qualunque cosa significhi) $\arctan 2$: come ti ho già consigliato in un altro messaggio conviene sempre che scrivi i passaggi che hai effettuato per esteso, così chi legge i tuoi messaggi ha tutto il materiale per analizzare bene il tuo svolgimento.
Comunque l'integrale può essere affrontato anche passando in coordinate sferiche, effettuando preliminarmente il cambio di variabili che ti ha già suggerito Bokonon.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 09:18

Grazie mille ho provato anche la tua parametrizzazione, io avevo usato la parametrizzazione in coordinate polari sul dominio per z=1/2 e poi ho integrato z tra 1/2 e 3/2 quindi per strati .
Ho solo un dubbio però
Mi ritrovo questo $0<=2costheta<=sintheta$
Come agisco qui? Io considero il primo quadrante però quando interseco per vedere l'intervallo che soddisfa theta di solito grafico normalmente $sintheta$ e inserisco il doppio sull'asse delle ordinate dell'andamento di cosx.
Però l'esatto punto di intersezione come lo vedo? $?<=Theta<=pi/2$
Faccio la tangente?
$arctan2<=theta$ con $costheta>=0$ ?
Grazie
Ps. Ditemi qual è il vostro risultato! :D
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 12:01

Dal fatto che $\cos \theta \geq 0$ puoi dividere mantenendo l'ordine, quindi giungi a $\theta \geq \arctan 2$ perché in $0 \leq \theta leq \frac{\pi}{2}$ la tangente è monotòna crescente.
A me viene $\frac{1}{75}$, prova a farlo anche in coordinate sferiche come esercizio.
Non capisco però perché vuoi complicarti la vita :D va bene uguale integrare in $z$, ma sostituire $w=z-\frac{1}{2}$ ti aiuta! In generale, i cambi di variabile fatti bene sono tuoi amici.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 12:24

Cavolo non ci avevo pensato io ho provato anche la parametrizzazione sferica però direttamente sulla circonferenza traslata rispetto all'origine con x0,y0,z0 (0,0,1/2) come punto iniziale. Questa ulteriore variante proprio non l'ho presa in considerazione. A me viene 43/3125 cambia l'approssimazione va bene uguale vero? Ce ne possono essere tanti di cambi di variabile mi sa. Ancora grazie
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 13:16

Una cosa ti chiedo. Come hai fatto a ottenere un risultato diciamo pulito? Cioè, la tangente è compresa tra $0,35pi, pi/2$ ,quindi a un certo punto integro sin^2 tra $pi/2 , 0,35pi$ però mi risulta 0,0258. Dopo lo moltiplico per $128/240$ la seconda parte dello svolgimento. Lo so è un dettaglio però vorrei sapere se c'è un modo per trattare questi valori di angolo diciamo non convenzionali. Grazie
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 13:43

Prego! No, non va bene in questo contesto :D devi ottenere un risultato esatto.
Non capisco perché compare quel $0.35 \pi$, scrivi semplicemente $\arctan 2$ e fai i conti con quello.
Seguendo la strada delle coordinate cilindriche, avendo posto precedentemente $w=z-\frac{1}{2}$, hai che
$$\iiint_E xy \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w$$
Dove $F=\{(\rho,\theta,w)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ 0\leq\rho\leq1, \ \arctan2\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leqw\leq\sqrt{1-\rho^2}}$.
Perciò
$$\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w=\int_{\arctan2}^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-\rho^2}} \rho^3\cos\theta\sin\theta\text{d}w\right)\text{d}\rho\right)\text{d}\theta$$
Ora fai i conti, ricordando che $\sin(\arctan \psi)=\frac{\psi}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$; o che $\cos(\arctan \psi)=\frac{1}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$, dipende come integri il prodotto $\cos\theta\sin\theta$.
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