Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 14:43

Prego! No, non va bene in questo contesto :D devi ottenere un risultato esatto.
Non capisco perché compare quel $0.35 \pi$, scrivi semplicemente $\arctan 2$ e fai i conti con quello.
Seguendo la strada delle coordinate cilindriche, avendo posto precedentemente $w=z-\frac{1}{2}$, hai che
$$\iiint_E xy \text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w$$
Dove $F=\{(\rho,\theta,w)\in\mathbb{R}^3 \ \text{t.c.} \ 0\leq\rho\leq1, \ \arctan2\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}, \ 0\leqw\leq\sqrt{1-\rho^2}}$.
Perciò
$$\iiint_F \rho^3 \cos \theta \sin \theta \text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}w=\int_{\arctan2}^{\frac{\pi}{2}} \left(\int_0^1\left(\int_0^{\sqrt{1-\rho^2}} \rho^3\cos\theta\sin\theta\text{d}w\right)\text{d}\rho\right)\text{d}\theta$$
Ora fai i conti, ricordando che $\sin(\arctan \psi)=\frac{\psi}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$; o che $\cos(\arctan \psi)=\frac{1}{\sqrt{1+\psi^2}$ per ogni $\psi \in \mathbb{R}$, dipende come integri il prodotto $\cos\theta\sin\theta$.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 14:57

Sai perché. Perché io ho calcolato proprio arctan 2 che è circa 66gradi e in radianti è 0,35pi l'ho svolto esplicitamente.
Quindi mi complicherei cosi?
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 15:03

Non è che ti complichi la vita, sbagli proprio :D stai facendo matematica, non laboratorio di fisica! Non si approssima, a meno che non venga esplicitamente richiesto dall'esercizio (negli esercizi tipo: calcolare l'integrale con un errore inferiore a...).
Ce lo scrivi questo conto? :) Vedrai che ti torna.
Mephlip
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 16:29

Ah bene io ho sempre la tentazione di scrivere un numero e quindi l'arctanx tendo sempre a trasformarla e quindi a sbagliare in questo contesto. Comunque si è esatto così il numero è preciso $ int_(1/3)^(3/2) int_(arctan2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(1-(z-1/2)^2)) rho^3costhetasintheta drho d theta dz $ =1/75
Domanda... Con la tua parametrizzazione quindi è come se considerassi lo spazio x,y,t con t=z-2 giusto? Una traslazione del sistema di riferimento e poi cambio l'insieme in funzione della parametrizzazione
$ E={(x,y,t) in R^3 t.c. 0<=2x<=y , t>=0, x^2+y^2+t^2<=1 $ giusto? Ancora grazie :D :D
bastian.0
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 14/09/2019, 16:37

bastian.0 ha scritto:Con la tua parametrizzazione quindi è come se considerassi lo spazio x,y,t con t=z-2 giusto?

Con la parametrizzazione di Bokonon* :D attenzione che la trasformazione è $z=t-\frac{1}{2}$, da cui segue $t=z+\frac{1}{2}$ (forse hai fatto un errore di battitura nello scrivere, hai scritto $t=z-2$).
bastian.0 ha scritto:$ int_(1/3)^(3/2) int_(arctan2)^(pi/2) int_(0)^(sqrt(1-(z-1/2)^2)) rho^3costhetasintheta drho d theta dz $ =1/75

Hai scritto male un estremo di integrazione, dovrebbe essere $\frac{1}{2}\leqz\leq\frac{3}{2}$ (forse un altro errore di battitura).
Comunque sì, si tratta di una traslazione che nel nuovo sistema di riferimento $(x,y,t)$ centra la sfera nell'origine e trasla il piano $2z\geq1$ nel piano $t\geq0$.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 16:58

Si gli estremi di integrazione errore di battitura , il primo no ho proprio usato $z-1/2=t$ per riportarmi la circonferenza centrata nell' origine del nuovo sistema di riferimento. E quindi mi verrà dopo che $t>=0$ perché quella parametrizzazione?
bastian.0
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Bokonon » 14/09/2019, 20:09

Bastian, hai ubricato anche Mephlip che chiaramente voleva scrivere:
$t=z-1/2$ quindi $z=t+1/2$
da cui $2z=2(t+1/2)=2t+1>=1$ implica $t>=0$

Solo perchè non passi inosservato (e perchè mi pare non sia stato menzionato), va sostituito anche il $dz$
In questo caso $dz=dt$ ma è bene ricordarselo in caso di sostituzioni più complesse.

P.S. Bastian, moltissimi esercizi sono costruiti partendo da un dominio "semplice" traslato e/o ruotato...giusto per renderli più "difficili". Ma non sta scritto da nessuna parte che tu non possa semplificarti la vita!
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Re: Integrale triplo

Messaggioda bastian.0 » 14/09/2019, 20:30

:D :D :D vero ho notato! Sisi comunque tornando all'esercizio ho omesso il dt perché è uguale a dz però giusta osservazione! Il traslato ok ci sono.. Il ruotato non mi è ben chiaro nel caso dovessi trovarlo.
Non mi torna una cosa sul theta che lo integro ok su arctan2, ma riguardando non mi è chiaro perché posso comunque integrarlo su pi/2, visto che non è definita su pi/2, forse sono un attimo fuso e non mi viene in mente che posso farlo comunque :D
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Re: Integrale triplo

Messaggioda Mephlip » 17/09/2019, 22:27

@Bokonon: Magari ci si potesse ubriacare in maniera così economica :D
Certamente mi sono sbagliato :-D
Per quanto riguarda la tua domanda bastian.0, a dirtela tutta non so risponderti con certezza: ciò che mi viene in mente è che gli integrali se ne fregano di quello che succede in un numero finito di punti (e non solo: anche in casi più generali, per esempio negli insiemi che hanno misura nulla secondo Lebesgue), ma questi sono concetti più profondi (rispetto a ciò che si studia sull'integrazione nei corsi base) di teoria della misura che ancora non padroneggio.
Perciò, se non ho detto eresie, integrare in $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ o integrare in $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ è indifferente per il motivo che ti ho detto prima; perciò, escludento $\theta=\frac{\pi}{2}$, puoi dividere per $\cos\theta$ e giungere all'espressione con $\tan\theta$ e ottenere lo stesso valore dell'integrale che avresti ottenuto se non avessi escluso $\theta=\frac{\pi}{2}$.
Aspetta (e aspetto anche io, perché sono curioso) che qualcuno più competente di me ti risponda per avere un parere sicuramente più affidabile.
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Re: Integrale triplo

Messaggioda dissonance » 23/09/2019, 12:15

Mephlip ha scritto:gli integrali se ne fregano di quello che succede in un numero finito di punti (e non solo: anche in casi più generali, per esempio negli insiemi che hanno misura nulla secondo Lebesgue)[...] integrare in $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ o integrare in $0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$ è indifferente per il motivo che ti ho detto prima

Tutto giusto. Escludendo \(\theta=\pi/2\) l'unica cosa che perdi è una sottilissima semicirconferenza. Questa figura ha volume nullo e quindi non influisce nell'integrale. Non c'è bisogno di misura di Lebesgue o di cose avanzate; basta osservare che, per ogni funzione continua \(f\) e ogni sottoinsieme \(A\) in \(\mathbb R^3\) sufficientemente regolare,
\[
\left\lvert \iiint_A f(x,y,z)\, dxdydz\right\rvert \le \mathrm{Vol}(A)\sup_A f, \]
quindi, se \(\mathrm{Vol}(A)=0\) automaticamente l'integrale fa zero. In particolare, se \(A\) e \(B\) sono disgiunti,
\[
\int_{A\cup B}f(x,y,z)\, dxdydz = \int_B f(x,y,z)\, dxdydz. \]
dissonance
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