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Studio serie parametrica con sviluppi di Maclaurin

15/09/2019, 11:56

Ciao a tutti,

il seguente esercizio prevede lo studio della convergenza della seguente serie parametrica con $ alpha > 0 $ utilizzando gli sviluppi di Maclaurin.

$ \sum_{k=1}^oo ln((1+ 1/k^alpha)/(e^sin(1/k^2))) $

Innanzitutto ho pensato di utilizzare la proprietà dei logaritmi:

$ \sum_{k=1}^oo ln(1+ 1/k^alpha) - ln(e^sin(1/k^2)) $

A questo punto ricorrerei alla scrittura dei polinomi di Maclaurin fino ad un certo ordine. Ma qui incontro dei problemi sullo studio della convergenza.

Sapete darmi una mano?

Grazie.

Re: Studio serie parametrica con sviluppi di Maclaurin

15/09/2019, 22:32

Ciao Matteoo94,
Matteoo94 ha scritto:A questo punto ricorrerei alla scrittura dei polinomi di Maclaurin fino ad un certo ordine.

In effetti basta il primo ordine:

$\sum_{k=1}^{+\infty} ln[(1+ 1/k^{\alpha})/(e^sin(1/k^2))] = \sum_{k=1}^{+\infty} ln(1+ 1/k^{\alpha}) - \sum_{k=1}^{+\infty} ln e^sin(1/k^2) = \sum_{k=1}^{+\infty} ln(1+ 1/k^{\alpha}) - \sum_{k=1}^{+\infty} sin(1/k^2) $

La seconda serie non dipende da $\alpha $ e si comporta come la serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} 1/k^2 $ che è la serie armonica generalizzata con parametro $ p = 2 > 1 $, notoriamente convergente a $\pi^2/6 $; la prima serie invece dipende da $\alpha $ e può convergere solo se $\alpha > 0 $ (per $\alpha <= 0 $ non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza di Cauchy $\lim_{k \to +\infty} a_k(\alpha) = 0 $) ed in tal caso si comporta come la serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} 1/k^{\alpha} $ che è la serie armonica generalizzata, notoriamente convergente se $\alpha > 1 $.
Si conclude che la serie proposta converge se $\alpha > 1 $.

Re: Studio serie parametrica con sviluppi di Maclaurin

16/09/2019, 16:54

Grazie
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