Integrale

Messaggioda caffeinaplus » 19/09/2019, 13:36

Salve a tutti, ho da svolgere questo integrale

$int (1/sinx)dx$

Ho pensato di risolverlo cosi

$int sinx/(sinx)^2dx$

Allora $-sinxdx=dt$ e $cosx=t$

Allora $-int -(sinxdx)/(1-cos^2x)= -int(dt)/(1-t^2)$

Utilizzando il metodo dei fratti semplici ottengo che una primitiva è

$-1/2ln(1+cosx)-1/2ln(1-cosx)$

Il fatto è: se derivo i due logaritmi tenendoli separati, mi ritrovo la funzione iniziale.
Se invece derivo la primitiva usando prima le proprietà dei logaritmi allora no.

Come mai?
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Re: Integrale

Messaggioda Bokonon » 19/09/2019, 14:57

C'è un errore di segno.
Una primitiva è $-1/2[ln|1+cos(x)|-ln|1-cos(x)|]+C$
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Re: Integrale

Messaggioda pilloeffe » 19/09/2019, 15:45

Ciao caffeinaplus,

In alternativa potresti osservare che si ha:

$sin x = sin [2(x/2)] = 2 sin(x/2) cos(x/2) $

$ 1 = sin^2(x/2) + cos^2(x/2) $

Poi, dividendo e ponendo $t := x/2 \implies \text{d}x = 2 \text{d}t $ ... :wink:
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