integrale doppio

Messaggioda cri98 » 19/09/2019, 16:05

$ int(9xy^2dy-4yx^2dx) $ lungo la curva $ x^2/9+y^2/4=1 $
soluzioni proposte:
1)36 $ pi $
2)72$ pi $
3)9$ pi $
4)108$ pi $

la curva rappresenta un ellisse con A=-3 B=3 C=2 D=-2
vado a studiare soltanto il primo quadrante ed ottengo:
$ { ( 0<=x<= 3),(0<= y<=3-2/3x ):} $
$ -int_(0)^(3)4yx^2dx int_(0)^(2-2/3x) 9xy^2dy $
l'impostazione è corretta?
Grazie :smt023
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Re: integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 19/09/2019, 19:23

Ciao cri98,
cri98 ha scritto:l'impostazione è corretta?

No. L'esercizio proposto è del tutto analogo (basta scambiare la $x$ con la $y$ e viceversa) a quello che avevi già proposto sabato 13/07/2019 qui, quindi così "a naso" la risposta corretta è la stessa, cioè la 4).
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Re: integrale doppio

Messaggioda cri98 » 21/09/2019, 12:37

ciao pilloeffe,
non capisco come si ottengono i valori di a e di b tutto il resto mi è chiaro
Grazie!
cri98
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Re: integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 22/09/2019, 22:16

cri98 ha scritto:non capisco come si ottengono i valori di a e di b

Che cosa intendi per valori di $a $ e di $b$? Se intendi la lunghezza dei semiassi dell'ellisse è immediato trovarli dalla sua equazione canonica:

$ x^2/9+y^2/4=1 $

$ x^2/3^2+y^2/2^2=1 $

Pertanto $a = 3 $ (semiasse maggiore, sull'asse $x$) e $b = 2 $ (semiasse minore, sull'asse $y$).
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Re: integrale doppio

Messaggioda cri98 » 24/09/2019, 14:44

ciao pilloeffe
non capisco come ottieni a=1/3 e b =1/2 nell'esercizio che mi hai postato, non dovrei ottenere a=3 e b=2
grazie
cri98
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Re: integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 24/09/2019, 15:21

cri98 ha scritto:non capisco come ottieni a=1/3 e b =1/2 nell'esercizio che mi hai postato, non dovrei ottenere a=3 e b=2

Non sono sicuro di aver capito la domanda, perché ho scritto proprio $ a = 3 $ e $ b = 2 $:
pilloeffe ha scritto:Pertanto $a=3$ (semiasse maggiore, sull'asse $x$) e $b=2 $ (semiasse minore, sull'asse $y$).

D'altronde l'equazione canonica di un'ellisse è la seguente:

$ x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 $
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Re: integrale doppio

Messaggioda cri98 » 28/09/2019, 10:30

Immagine

passando alle coordinate ellittiche ottengo:
$ int int_()^()4(bp sinvartheta)^2+9(ap cos vartheta)^2 dx dy $
da qui come procedo ad ottenere i valori di a e b?
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Re: integrale doppio

Messaggioda pilloeffe » 29/09/2019, 02:16

Beh, attenzione perché con abuso di notazione si indicano sempre con $a $ e $b $, ma quelli della trasformazione in coordinate ellittiche non sono i semiassi dell'ellisse frontiera di $D$... :wink:
Per il teorema di Gauss-Green nel piano si ha:

$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $

ove nel caso in esame $del^+ D $ non è altro che l'equazione dell'ellisse $ x^2/9+y^2/4=1 $, $A(x,y)=−4yx^2 $, $ B(x,y)=9xy^2 $ e $D={(x,y) \in \RR^2 : x^2/9+y^2/4 <= 1} $, per cui si ha:

$\oint_{del^+ D} −4yx^2\text{d}x + 9xy^2\text{d}y = \int\int_D (9y^2 + 4x^2) \text{d}x \text{d}y $

Passando alle coordinate ellittiche

${ ( x=a\rho cos\theta ),( y=b\rho \sin\theta ):} $

ove $a $ e $b$ devono essere scelti in modo che $ 9y^2 + 4x^2 = \rho^2 $, per cui nel caso in esame $a=1/2 $ e $b=1/3 $ e quindi $|J|=ab\rho =1/6\rho $, si ha:

$ \int\int_D (9y^2 + 4x^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^6 \rho^2 \cdot 1/6 \rho \text{d}\rho = 2\pi \cdot 1/6 \cdot [\rho^4/4]_0^6 = \pi 6^3/2 = 108\pi $

Pertanto, come ho già scritto nel mio primo post, la risposta corretta è la 4).
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