Beh, attenzione perché con abuso di notazione si indicano sempre con $a $ e $b $, ma quelli della trasformazione in
coordinate ellittiche non sono i semiassi dell'ellisse frontiera di $D$...
Per il
teorema di Gauss-Green nel piano si ha:
$\oint_{del^+ D} A(x,y)\text{d}x + B(x,y)\text{d}y = \int\int_D ((delB)/(delx) - (delA)/(dely)) \text{d}x \text{d}y $
ove nel caso in esame $del^+ D $ non è altro che l'equazione dell'ellisse $ x^2/9+y^2/4=1 $, $A(x,y)=−4yx^2 $, $ B(x,y)=9xy^2 $ e $D={(x,y) \in \RR^2 : x^2/9+y^2/4 <= 1} $, per cui si ha:
$\oint_{del^+ D} −4yx^2\text{d}x + 9xy^2\text{d}y = \int\int_D (9y^2 + 4x^2) \text{d}x \text{d}y $
Passando alle coordinate ellittiche
${ ( x=a\rho cos\theta ),( y=b\rho \sin\theta ):} $
ove $a $ e $b$ devono essere scelti in modo che $ 9y^2 + 4x^2 = \rho^2 $, per cui nel caso in esame $a=1/2 $ e $b=1/3 $ e quindi $|J|=ab\rho =1/6\rho $, si ha:
$ \int\int_D (9y^2 + 4x^2) \text{d}x \text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^6 \rho^2 \cdot 1/6 \rho \text{d}\rho = 2\pi \cdot 1/6 \cdot [\rho^4/4]_0^6 = \pi 6^3/2 = 108\pi $
Pertanto, come ho già scritto nel mio primo post, la risposta corretta è la 4).