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Discussioni su programma di analisi 1 e 2: numeri complessi, calcolo di una o più variabili reali, equazioni differenziali ordinarie.

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Derivate nelle equazioni differenziali

19/09/2019, 16:47

Sia $ L=m/2(x')^2-k/mx^3 $ .

$ (partial L)/(partial x) =-3k/mx^2 $ e
$ (partial L)/(partial x') =mx' $
sono calcoli corretti?

x' sta per derivata prima (temporale) di x.
m e k sono costanti. x e x' non lo sono.
Non credo ci sia altro da specificare.

Non so se si intuisce ma si tratta di una lagrangiana un po' strana (meccanica analitica).
Cioè quello che non so è se derivando su x' devo considerare x come una costante (quindi ininfluente) e viceversa, oppure no.
Sicuramente i calcoli sono corretti se x e x' sono indipendenti fra loro, ma mi sembra una condizione un po' assurda.
x non è affatto una costante e certamente dipende dal tempo altrimenti x' sarebbe 0. Inoltre anche x' deve dipendere dal tempo perchè fra i dati iniziali è scritto che non è una costante.


Grazie in anticipo

Re: Derivate nelle equazioni differenziali

19/09/2019, 18:04

Si, è giusto.

Re: Derivate nelle equazioni differenziali

19/09/2019, 21:41

Proprio per evitare questo tipo di fraintendimenti, usualmente si introduce una altra variabile al posto di $dot(x)$; di solito si usa $q$.
Quindi la tua lagrangiana si scriverebbe $ L=m/2 q^2-k/m x^3 $ e la derivata che ti interessa è semplicemente $(partial L)/(partial q)$.

Re: Derivate nelle equazioni differenziali

19/09/2019, 22:31

@gugo
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
Notazione dell'Evans :-)
Anche se io ho sempre visto usare in meccanica analitica $q$ e $\dot{q}$ per indicare le coordinate lagrangiane

Re: Derivate nelle equazioni differenziali

20/09/2019, 13:46

Moderatore: Raptorista

Sposto da Analisi superiore.

Re: Derivate nelle equazioni differenziali

20/09/2019, 14:21

@ feddy:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
In realtà è una modifica della classica notazione di Monge1, in cui negli argomenti di una funzione di cinque variabili che dipende da:

  • due variabili $x,y$,

  • una funzione delle due variabili $z(x,y)$,

  • le due derivate parziali $(partial z)/(partial x)(x,y)$ e $(partial z)/(partial y)(x,y)$ della funzione $z(x,y)$,

si usano i simboli $z$, $p$ e $q$ per denotare la funzione e le sue due derivate ($p=z_x$ e $q=z_y$); in altri termini, al posto di $L(x,y,z,(partial z)/(partial x), (partial z)/(partial y))$ si usa scrivere $L(x,y,z,p,q)$.

Note

  1. Da Gaspard Monge (1746 - 1818), matematico francese, anche se non so se davvero l’ha introdotta lui.
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