Completezza dei numeri reali

[Leonardo97]

Buongiorno a tutti! Essendo nuovo sul forum mi scuso in anticipo per eventuali ingenuità che potrei commettere.
Consideriamo:
\[x_1,\,x_2 \in \mathbb{R} \mid x_1<x_2\]
Supponiamo per assurdo che:
\[\nexists \,x_0 \in \mathbb{R} \mid x_1<x_0<x_2\]
Allora:
\[\forall \,\epsilon>0 \quad x_1<x_1+\epsilon \quad \Rightarrow \quad x_2 \le x_1+\epsilon\]
dato che se fosse $x_2>x_1+\epsilon$ allora avremmo $x_1<x_1+\epsilon<x_2$ contro l'ipotesi fatta per assurdo. Dunque risulta:
\[\forall \,\epsilon>0 \quad x_1<x_2 \le x_1+\epsilon\]
Prendendo $\epsilon=\frac{x_2-x_1}{2}>0$ avremo allora $x_2 \le x_1+\frac{x_2-x_1}{2}$ e quindi $0<x_2-x_1 \le \frac{x_2-x_1}{2}$ il che è assurdo.
Quindi:
\[\forall \,x_1,\,x_2 \in \mathbb{R} \quad \exists \,x_0 \in \mathbb{R} \mid x_1<x_0<x_2\]
Questa dimostrazione ha qualcosa che non va? Perché cercando online ho trovato che il risultato fornito da questa dimostrazione è noto come ASSIOMA (non PROPOSIZIONE o TEOREMA) di completezza (o di continuità).
Ringrazio tutti voi per lo splendido lavoro che fate. Grazie a chi vorrà vorrà aiutarmi.

[dissonance]

Troppo casino. È sufficiente prendere il punto di mezzo $x_0=1/2(x_2+x_1)$. Questo, inoltre, non è l'assioma di completezza. Questa è una proprietà molto più blanda, soddisfatta anche dai numeri razionali.

[Leonardo97]

Chiarissimo grazie!