Dubbio su inclusione

[Plepp]

Salve,
perdonate il titolo poco appropriato ma non sono riuscito a far di meglio.

Nel seguito pongo
\[N_\delta(E):=\{x\in \mathbb{R}^N: \mathrm{dist}(x,E)\le \delta\},\]
dove la distanza è quella euclidea.

Parto dall'ipotesi che $B\subseteq N_\delta(A)$, dove $A$ e $B$ sono sottoinsiemi generici di $RR^N$. Ciò che non riesco a dimostrare è l'inclusione
\[B\subseteq N_\delta(A\cap N_\delta(B)).\]
È un po' che ci sbatto la testa ma non riesco a farla venir fuori (ma il libro assicura che è vera).

Idee?

[Plepp]

Non state a perderci tempo: mi hanno fatto notare che l'inclusione incriminata è falsa senza ulteriori ipotesi.

Controesempio: $\delta=1$, $A=\{(x,0):x\ne 0\}$, $B=\{(0,1)\}$. Si ha così
\[N_1(A)=\mathbb{R}\times [-1,1],\quad N_1(B)=\{x^2+(y-1)^2\le 1\}\]
quindi
\[B\subseteq N_1(A)\quad\text{e}\quad A\cap N_1(B)=\varnothing.\]

[Reyzet]

Ieri ci avevo un po' provato e secondo me potrebbe funzionare definendo $N_{\delta}$ col minore stretto (in questo caso il controesempio che hai trovato non dovrebbe valere).
Puoi provare in questo modo, anche se magari è falso...

[dissonance]

@Plepp: puoi mettere il riferimento completo? Così se qualcuno incappa nello stesso errore gli appare questo thread in una ricerca.

Comunque, può darsi che il libro richieda imokicitamente che A e B siano compatti o quantomeno chiusi. Sono comunque d'accordo che la proposizione, se è vera, non è affatto ovvia.

[billyballo2123]

Comunque, può darsi che il libro richieda imokicitamente che A e B siano compatti o quantomeno chiusi. Sono comunque d'accordo che la proposizione, se è vera, non è affatto ovvia.

Sono d'accordo... penso che basti supporre che $A$ sia chiuso.
In questo caso in fatti per ogni $x\in B$ si ricava un $y_x\in A$ tale per cui $d(x,y_x)\le \delta$, avendo così che $y_x\in A \cap N_\delta(B)$ e di conseguenza $x\in N_\delta(A\cap N_\delta(B))$.

[Plepp]

Ieri ci avevo un po' provato e secondo me potrebbe funzionare definendo $N_{\delta}$ col minore stretto (in questo caso il controesempio che hai trovato non dovrebbe valere).
Puoi provare in questo modo, anche se magari è falso...

Così funziona, a prescindere dal fatto che $A$ e/o $B$ siano chiusi. Infatti, se definisco $N_\delta$ come dici tu, si ha
\[
N_\delta(A)=\bigcup_{a\in A} B(a,\delta).
\]
Quindi, preso $x\in B$, ho per ipotesi che $x\in B(a,\delta)$ con $a\in A$; di conseguenza $a\in N_{\delta}(B)\cap A$ e il gioco è fatto.

Sono d'accordo... penso che basti supporre che $ A $ sia chiuso.
In questo caso in fatti per ogni $ x\in B $ si ricava un $ y_x\in A $ tale per cui $ d(x,y_x)\le \delta $, avendo così che $ y_x\in A \cap N_\delta(B) $ e di conseguenza $ x\in N_\delta(A\cap N_\delta(B)) $.

Sono d'accordo, anche definendo $N_\delta$ col $\le$.

Preso $x\in B$, ho $d(x,A)<\delta$ oppure $d(x,A)=\delta$. Nel primo caso vale il ragionamento di prima. Nel secondo caso, esiste una successione $a_n$ in $A$ tale che
\[
d(x,a_n)<\delta+1/n.
\]
Ho quindi che $a_n\in \bar{B}(x,\delta+1)\cap A$, che è compatto (se $A$ è chiuso): estraggo una sottosuccessione convergente e ho finito.

@Plepp: puoi mettere il riferimento completo? Così se qualcuno incappa nello stesso errore gli appare questo thread in una ricerca.

Comunque, può darsi che il libro richieda imokicitamente che A e B siano compatti o quantomeno chiusi. Sono comunque d'accordo che la proposizione, se è vera, non è affatto ovvia.

Non dissonance non è possibile.

Il libro comunque si intitola Variational Methods in Image Segmentation di J.-M. Morel e S. Solimini. L'inclusione si trova nel Lemma 9.14 (Recursive Reflection Lemma).

Grazie a tutti ragazzi.

[Plepp]

Giusto per completezza, riporto le parti del libro interessate.

Qui si pone
\[
B^{(1)}:=\{2x-y:\ x,y\in B \},\qquad B^{(k+1)}:=(B^{(k)})^{(1)}.
\]

Credo proprio che non importi cosa vogliano dire "regolare" e "$\alpha$-set".

[Reyzet]

Ieri ci avevo un po' provato e secondo me potrebbe funzionare definendo $N_{\delta}$ col minore stretto (in questo caso il controesempio che hai trovato non dovrebbe valere).
Puoi provare in questo modo, anche se magari è falso...

Così funziona, a prescindere dal fatto che $A$ e/o $B$ siano chiusi. Infatti, se definisco $N_\delta$ come dici tu, si ha
\[
N_\delta(A)=\bigcup_{a\in A} B(a,\delta).
\]
Quindi, preso $x\in B$, ho per ipotesi che $x\in B(a,\delta)$ con $a\in A$; di conseguenza $a\in N_{\delta}(B)\cap A$ e il gioco è fatto.

Ecco, io lo ho fatto in modo meno elegante, ma per curiosità da dove hai preso quella uguaglianza di insiemi?

Tra l'altro penso che se A è compatto questa cosa dovrebbe valere in un qualunque spazio metrico (anche col $\leq$) per quel noto fatto sugli elementi di minima distanza.

[Plepp]

Ieri ci avevo un po' provato e secondo me potrebbe funzionare definendo $N_{\delta}$ col minore stretto (in questo caso il controesempio che hai trovato non dovrebbe valere).
Puoi provare in questo modo, anche se magari è falso...

Così funziona, a prescindere dal fatto che $A$ e/o $B$ siano chiusi. Infatti, se definisco $N_\delta$ come dici tu, si ha
\[
N_\delta(A)=\bigcup_{a\in A} B(a,\delta).
\]

Ecco, io lo ho fatto in modo meno elegante, ma per curiosità da dove hai preso quella uguaglianza di insiemi?

È abbastanza intuitivo direi. Se $x$ sta nell'insieme a destra, ovviamente sta in $\{y:d(y,A)<\delta\}$. Viceversa, se $d(x,A)<\delta$, allora $d(x,A)=\delta-\epsilon$ per qualche $\epsilon>0$. In corrispondenza di $\epsilon$ esiste $a\in A$ tale che
\[d(x,a)<\delta-\varepsilon+\varepsilon=\delta.\]
Tutto ciò vale in qualsiasi spazio metrico.

Invece in $RR^N$ (o più in generale in spazi normati) vale questa cosa:
\[
\{x:\ d(x,A)\le \delta\}=\overline{\{x:\ d(x,A)< \delta\}}=\overline{\bigcup_{a\in A} B(a,\delta)}.
\]