eq. differenziali, Cauchy

[Smon97]

Sia y la solizione del seguente problema di Cauchy:

$\{(y''-2^(x)y' + 2^(x)y=0),(y(0)=c),(y'(0)=2c):}$


Studiare, al variare di $c in RR$ la monotonia e la convessità di y in un intorno dell'origine.

Per prima cosa osservo che esiste la derivata prima, quindi è di classe almeno $c^1[a,b]$

poi come continuo?

[pilloeffe]

Ciao Smon97,

Sia y la solizione [...]

Soluzione è meglio...

poi come continuo?

La soluzione, che esiste, coinvolge la funzione ipergeometrica confluente di Kummer nonché la funzione G di Meijer, per cui è chiaro che qui ti si chiede la soluzione sotto forma di uno sviluppo in serie di Colin Maclaurin valida in un intorno del punto $x_0 = 0 $; ad esempio potresti cominciare col ricavarti $y''(0) $:

$y''(x) = 2^x y'(x) - 2^x y(x) = 2^x (y'(x) - y(x)) $

Pertanto si ha:

$y''(0) = 2^0 (y'(0) - y(0)) = 2c - c = c $

[Smon97]

funzione ipergeometrica confluente di Kummer nonché la funzione G di Meijer non l'ho fatta, non so cosa sia..

[pilloeffe]

Leggi la risposta completa, non solo la prima riga...

[gugo82]

Sia $y$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:

$\{(y''-2^(x)y' + 2^(x)y=0),(y(0)=c),(y'(0)=2c):}$


Studiare, al variare di $c in RR$ la monotonia e la convessità di $ y$ in un intorno dell'origine.

Per prima cosa osservo che esiste la derivata prima, quindi è di classe almeno $C^1([a,b])$

poi come continuo?

Distingui i casi.

Cosa accade intorno a $0$ se $c>0$?
Cosa se $c<0$?
E se $c=0$?

[Smon97]

Non ho capito come va affrontato questo esercizio

[gugo82]

Cosa vuol dire che $y(x)$ è una soluzione di \(y^{\prime \prime} - 2^x y^\prime + 2^x y = 0\)?