Ma non c'è bisogno di tirare in ballo la media integrale
considera che essendo $f$ continua in $[1,+infty)$ a maggior ragione lo sarà in $[1,1+a^n]$ quindi per weierstrass puoi considerare $M_n=max_(t in [1,1+a^n])f(t)$ e $M=max_(t in [1,2])f(t)$ che sono ben definiti
inoltre $0<a<1 => 1<1+a^n<2$ quindi $M_n<M$ per ogni $ngeq1$
$0leqf(t)leqM_n forall t in [1,1+a^n] => 0leqint_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqint_(1)^(1+a^n)M_ndt=a^nM_nleqa^nM$
quindi sommando $sum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqMsum_(n=1)^(+infty)a^n=(Ma)/(1-a)$