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sia $a in ]0,1[$ e sia $<f: ]1, +oo[->RR^+$ una funzione continua. Provare che la serie è convergente.

$\sum_{n=1}^oo \int_1^(1+a^n) f(t)dt$


Ho provato così:

per il teorema dell'integrale della media si ha

$ EE c_n in ]1, 1+a^n[ : \int_1^(1+a^n) f(t)dt = f(c_n)a^n$

quindi
$\sum_{n=1}^oo f(c_n)a^n $

come faccio vedere che questa serie converge?

ma sicuro che sia vero?


prendi $f(x)=1/(x-1)$

anto_zoolander ha scritto:ma sicuro che sia vero?

cosa?

che la serie sia convergente.

Si. è la richiesta di un esercizio di un compito di esame.
richiede proprio di far vedere che la serie diverse

Nel messaggio iniziale hai scritto "provare che la serie è convergente" e ora che è tratto da un esercizio d'esame nel quale è richiesto un controesempio(diverse=diverge?)

ad ogni modo la funzione $f(x)=1/(x-1)$ è tale che

- $f:(1,+infty)->RR^(+)$

- è continua in $(1,+infty)$
- comunque preso $a in (0,1)$ si ha $+infty=int_(1)^(1+a)f(x)dxleqsum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(x)dx$

l'esercizio è preso da un compito esame di analisi 1 (facoltà di matematica).
Provare che la serie è convergente per i miei prof sta a significare dimostra che essa converge.
in effetti però prendendo $f(x)=1/(x-1)$ la serie diverge.
Quindi a questo punto non saprei, forse hanno sbagliato a scrivere il testo loro, io l'ho copiato per come è nel compito d'esame.

Oltre al fatto che messa così si trova un controesempio non mi capacito del fatto che si usi $(1,+infty)$ come dominio e poi essendo $a in (0,1)$ l'integrale lo si calcola al più in un sotto-insieme di $(1,2)$

sicura che il dominio non fosse tipo $[1,2]$ o $[1,+infty)$?

si sicura. Ho esattamente copiato il testo d'esame.
se c'è un modo per allegare la foto, allego direttamente il testo d'esame.

Beh si a questo punto sono curioso
nell'editor basta che metti "aggiungi immagine" e la scegli dal tuo computer

se riesci, dopo averla caricata nell'editor, mettila sotto OT così non si fa confusione