Integrali, esercizio teorico

[Smon97]

[Reyzet]

Le cose ovviamente cambiano, essendo f definita in 1.

[Smon97]

scusa, hai ragione..

[anto_zoolander]

sapresti dove mettere mano considerando questa differenza(che è fondamentale)?

[Smon97]

Dopo scriverla utilizzando il teorema della media dell integrale no. Poi non saprei come continuare.

[anto_zoolander]

Ma non c'è bisogno di tirare in ballo la media integrale

considera che essendo $f$ continua in $[1,+infty)$ a maggior ragione lo sarà in $[1,1+a^n]$ quindi per weierstrass puoi considerare $M_n=max_(t in [1,1+a^n])f(t)$ e $M=max_(t in [1,2])f(t)$ che sono ben definiti

inoltre $0<a<1 => 1<1+a^n<2$ quindi $M_n<M$ per ogni $ngeq1$

$0leqf(t)leqM_n forall t in [1,1+a^n] => 0leqint_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqint_(1)^(1+a^n)M_ndt=a^nM_nleqa^nM$

quindi sommando $sum_(n=1)^(+infty)int_(1)^(1+a^n)f(t)dtleqMsum_(n=1)^(+infty)a^n=(Ma)/(1-a)$

[Smon97]

Giusto!
Grazie

[dissonance]

Comunque andava bene anche l'idea di usare la media integrale, in fondo è la stessa cosa. Il fatto che \(f\) sia definita in \([1, \infty)\) è solo un distrattore, l'unica cosa che ti serve qui è la restrizione di \(f\) a \([1, 2]\).