funzioni, insiemi contigui

[Smon97]

Siano A e B due sottoinsiemi non vuori di $RR$ tale che per ogni funzione strettamente monotona $f:]-oo, +oo[->RR$ si abbia $Sup f(A)=Inf f(B)$
Dimostrare che $EEc in RR : A=B={c}$

Ho provato così

Poichè f è una funzione strettamente monotona o è strettamente crescente o strettamente decrescente.
Per avere $Sup f(A)=Inf f(B)$ gli insiemi A e B sono contigui, per cui esiste un elemento di separazione, sia esso c. da cui si ha che $A=B={c}$

però come dimostrazione è incompleta. Come posso continuarla?

[Reyzet]

Prova così, se prendi $f(x)=x$ trovi che sono insiemi contigui e cioè $a\leq b$ per ogni $a\in A, b\in B$, supponi che $A\ne B$ e prendi una qualunque funzione decrescente, dovresti arrivare a un assurdo, e a quel punto $A=B$, poi che sia un singoletto segue dalla contiguità.