Buonasera,
nello svolgere un esercizio di fisica mi sono imbattuto in un integrale che si risolve banalmente facendo delle osservazioni ma che mi dà qualche problema se voglio seguire tutti i passaggi "rigorosamente".
Il problema dice che c'è una superficie metallica conica con angolo di semi-apertura $\theta_0$ su cui scorre una densità di corrente superficiale costante $\vec{J}_s$. Supponendo che l'asse del cono coincida con l'asse z e che il vertice del cono sia nell'origine, usando le coordinate sferiche la densità di corrente è radiale.
Mi si chiede di calcolare la corrente attraverso una qualsiasi calotta sferica che interseca il cono.
Svolgimento intuitivo
$I=\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s dS$
Poiché la corrente è superficiale, l'integrale di superficie si riduce ad un integrale di linea lungo la circonferenza di raggio $r\sin \theta_0$ e quindi ho semplicemente $I= 2\pi r \sin \theta_0 J_s$. Questa è al soluzione corretta.
Svolgimento rigoroso
Innanzitutto osservo che $\vec{J_s}= J_s \delta(\theta - \theta_0) \vec{\hat{r}}$.
$\int int \vec{J}_s \cdot \hat{\vec{n}} dS=\int int J_s \delta(\theta - \theta_0) dS$
Ora devo esprimere il dS in coordinate sferiche: $dS= (rd\theta) (r\sin \theta d\phi)$.
Applicando le proprietà della delta di Dirac,
ottengo
$I= \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} J_s \delta(\theta - \theta_0) r^2 \sin \theta d\phi= \int_0^{2\pi} J_s r^2 \sin \theta_0 d\phi= 2\pi r^2 \sin \theta_0 J_s$.
C'è un r di troppo! Come mai?