E' convessa questa funzione?

[Filippo12]

La funzione definita così:

$ x^2 $ se x appartiene a Q

0 se x non appartiene a Q

Nell'origine è derivabile e convessa (perchè f(x) è uguale al valore della tangente in x= 0 , quindi secondo la definizione di convessità in un punto lo è ) ,
ma non esiste alcun intorno di x= 0 nel quale intorno è convessa.
Quindi essere convessa in un punto non implica essere convessa in tutto un intervallo (il viceversa invece accade sempre).

Come mai non è convessa in un intervallo? Perchè è discontinua?

Grazie

[@melia]

Perché in qualunque punto razionale di un intorno di 0 hai punti della funzione che stanno sotto alla retta tangente in quel punto.

[gugo82]

La funzione definita così:

$ f(x) := \{ (x^2, text(, se ) x in QQ) , (0, text(, se ) x notin QQ) :}$

Nell'origine è derivabile e convessa (perchè f(x) è uguale al valore della tangente in x= 0 , quindi secondo la definizione di convessità in un punto lo è )

“Convessità in un punto” è il male.
Liberati di questa definizione inutile.

[…] ma non esiste alcun intorno di x= 0 nel quale intorno è convessa.
Quindi essere convessa in un punto non implica essere convessa in tutto un intervallo (il viceversa invece accade sempre).

Come mai non è convessa in un intervallo? Perchè è discontinua?

Esistono funzioni convesse discontinue (negli estremi del loro intervallo di convessità), quindi a rigore no; ma si dimostra facilmente che una funzione convessa in un intervallo è continua nei punti interni ad esso. Nel tuo caso, la funzione fa parecchio schifo, quindi…

Oppure, altro argomento. Sai che, per densità, in ogni intervallo non degenere cadono infiniti punti razionali ed irrazionali.
Scegliamo due irrazionali $xi_1< xi_2$ in tale intervallo e supponiamo, per assurdo che $f$ sia convessa: per segno di $f$ e disuguaglianza di convessità, per ogni $xi_1 < x < xi_2$ dovresti avere $0<= f(x) <= (x-xi_1)/(xi_2-xi_1) f(xi_1) + (xi_2 - x)/(xi_2 - xi_1) f(xi_2) = 0$, dunque $f(x) =0$; ma se prendi $x$ razionale trovi…

[Filippo12]

grazie ad entrambi, ho capito !

[Filippo12]

“Convessità in un punto” è il male.
Liberati di questa definizione inutile.



Infatti...il libro nella definizione di convessità in un punto dice " una f(x) è convessa in un punto x se esiste un intorno del punto x in cui è soddisfatta la diseguaglianza
f(x) - retta tangente >= 0 " .
Ma se dopo mi dice che la funzione che ho riportato nel mio quesito è convessa in un punto senza esserlo in un intorno del punto stesso! Non si è contraddetto?? La definizione è stata contraddetta! Ciao