Serie convergente

[3m0o]

Dimostra che
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\phi}{n} = - \log \begin{vmatrix} 2 \sin \frac{\phi}{2} \end{vmatrix}\]
con \(0 < \begin{vmatrix} \phi \end{vmatrix}< \pi \)

Io ho pensato di utilizzare questo: \( \cos n \phi = \frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2} \)
Il primo dubbio, posso spezzare così la serie? No vero?
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2n} =?? \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}}{2n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-in\phi}}{2n} \]
Il secondo, se la risposta al primo dubbio è affermativa (anche se dubito) è che \( \begin{vmatrix} e^{i x} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{-i x} \end{vmatrix}= 1 \) e dunque so che ponendo \( z:= e^{i \phi} \) in un caso e \( \omega := e^{-i \phi } \) come faccio a dire che la serie converge? Se avessi che il modulo è minore di 1 allora la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} = - \ln(1-z) \)... ma non è questo il caso..

Non so come procedere, qualcuno può darmi un hint?

[otta96]

Sai dire qualcosa sulle somme del tipo $\sum_{k=0}^ncos(xk)$?
Una serie di somme la puoi spezzare, se poi ne ottieni tutte tranne una (in questo caso una) convergente puoi concludere come ti piacerebbe fare, se ce ne sono due che non convergono devi stare molto cauto a trarre conclusioni, in alcuni casi si può fare tipo se tutte le serie divergenti divergono positivamente.

[pilloeffe]

Ciao 3m0o,

Beh, tenendo presente la formula di Eulero $ e^{i n \phi}=cos(n\phi)+i sin(n\phi) $, si vede che per $0 < |\phi| < \pi $ si ha:

$ \sum_{n = 1}^{+\infty}(cos(n\phi))/n+i \sum_{n = 1}^{+\infty} (sin(n\phi))/n= \sum_{n = 1}^{+\infty} e^{i n\phi}/n =−Ln(1−e^{i\phi}) =−ln|1−e^{i\phi}|−i Arg(1−e^{i\phi}) $

da cui la tesi segue dal fatto che si ha:

$|1 - e^{i\phi}| = |e^{i \phi/2} - e^{- i \phi/2}| = |2 sin(\phi/2)| $

Per la convergenza delle serie in questione dai un'occhiata a questo thread.

[3m0o]

Caspita grazie... tra l'altro solo oggi ho realizzato che
\[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} e^{in\phi} \]
Converge per ogni \( 0 < \begin{vmatrix} \phi \end{vmatrix} \leq \pi \) poiché effettivamente il denominatore si annulla solo con \( \phi = 0 \) (e tutti gli altri multipli di \( 2 \pi \) ), ragionavo ancora come nei reali, è solo 1 settimana che ho iniziato analisi complessa e quindi non ho l'abitudine ancora a ragionare nei complessi e mi è difficile...
Da questo fatto immagino deriva il fatto che
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{e^{in\phi}}{n} \]
converge nonostante il modulo sia \( 1 \).

[3m0o]

Tra l'altro ne approffitto per chiedere una cosa, quando scrivi \( - \operatorname{Ln}(1-e^{i \phi}) \) immagino intendi la determinazione principale dell'logaritmo complesso. Però a corso abbiamo dimostrato che il logaritmo non ha una determinazione su \( \mathbb{C}^* \)
- In primo luogo non ho ben capito cos'è una determinazione,
- In secondo se non ha una determinazione allora perché ne ha una principale?
- Da ultimo ma non per importanza non ho capito la dimostrazione (che scrivo qui di seguito)
Denotiamo con \( \mathbb{S}^1 = \{ z \in \mathbb{C} : \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} = 1 \} \)
Supponiamo che esiste una determinazione del logaritmo \( f: \mathbb{S}^1 \to \mathbb{C} \), e otteniamo una contraddizione. Poniamo \( u : \mathbb{R} \to \mathbb{C} \) definito per \( u (\theta)= f(e^{i \theta} ) \), abbiamo chiaramente che \( u (\theta)- \theta = 2 \pi i n(\theta) \) (perché??), dove \( n(\theta) \) è un intero (perché??). Siccome \( u \) dev'essere continua \( n(\theta)\) dev'essere costante (perché?).
Ma questo porta ad una contraddizione per la periodicità, \( u(\theta+ 2 \pi) = u(\theta) \) che da \( 2 \pi = 0 \) (non sarebbe piuttosto \(n(2\pi)=n(0) \)?) dunque \( u \) non esiste e pertanto \( f \) non esiste.