Dimostra che
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\phi}{n} = - \log \begin{vmatrix} 2 \sin \frac{\phi}{2} \end{vmatrix}\]
con \(0 < \begin{vmatrix} \phi \end{vmatrix}< \pi \)
Io ho pensato di utilizzare questo: \( \cos n \phi = \frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2} \)
Il primo dubbio, posso spezzare così la serie? No vero?
\[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}+ e^{-in\phi}}{2n} =?? \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{in\phi}}{2n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-in\phi}}{2n} \]
Il secondo, se la risposta al primo dubbio è affermativa (anche se dubito) è che \( \begin{vmatrix} e^{i x} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} e^{-i x} \end{vmatrix}= 1 \) e dunque so che ponendo \( z:= e^{i \phi} \) in un caso e \( \omega := e^{-i \phi } \) come faccio a dire che la serie converge? Se avessi che il modulo è minore di 1 allora la serie \( \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n} = - \ln(1-z) \)... ma non è questo il caso..
Non so come procedere, qualcuno può darmi un hint?