Buongiorno a tutti.
Ho letto che il teorema di Bolzano-Weierstrass (da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente) vale in ogni spazio vettoriale $V$ finito dimensionale (sul campo dei reali o dei complessi).
La mia domanda è: il teorema vale per $V$ munito di una qualsiasi metrica $d$?
Mi spiego meglio.
Se $V$ è munito con una qualsiasi metrica $d$ indotta da una norma $||.||$ di $V$ il teorema allora vale: infatti il teorema vale per $V$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$, e usando il fatto che tutte le norme (e le metriche da queste indotte quindi) sono equivalenti su uno spazio vettoriale finito dimensionale, allora il teorema vale per $V$ munito di una qualunque metrica indotta da una norma.
Ma il teorema continua a valere per $V$ munito di una metrica non indotta da alcuna norma?
Per farla molto semplice: il teorema di Bolzano-Weierstrass vale ovviamente su $\mathbb{R}$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$ che in $\mathbb{R}$ si riduce semplicemente al modulo $|.|$.
Ma se munisco $\mathbb{R}$ di una metrica "brutta" $d$ non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$, il teorema di Bolzano-Weierstrass continua a valere?
Personalmente credo di no, perché munendo $\mathbb{R}$ (o più in generale $V$) di una metrica non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$ non stiamo sfruttando in alcun modo il fatto che stiamo ragionando con uno spazio vettoriale, e ci mettiamo praticamente nella condizione di voler dimostrare il teorema di B-W in uno spazio metrico (e sappiamo benissimo che tale teorema non vale in generale in spazi metrici).
Attendo un vostro gentile chiarimento.