Teorema di Bolzano-Weierstrass per spazi vettoriali finito dimensionali

[Leonardo97]

Buongiorno a tutti.

Ho letto che il teorema di Bolzano-Weierstrass (da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente) vale in ogni spazio vettoriale $V$ finito dimensionale (sul campo dei reali o dei complessi).
La mia domanda è: il teorema vale per $V$ munito di una qualsiasi metrica $d$?
Mi spiego meglio.
Se $V$ è munito con una qualsiasi metrica $d$ indotta da una norma $||.||$ di $V$ il teorema allora vale: infatti il teorema vale per $V$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$, e usando il fatto che tutte le norme (e le metriche da queste indotte quindi) sono equivalenti su uno spazio vettoriale finito dimensionale, allora il teorema vale per $V$ munito di una qualunque metrica indotta da una norma.
Ma il teorema continua a valere per $V$ munito di una metrica non indotta da alcuna norma?

Per farla molto semplice: il teorema di Bolzano-Weierstrass vale ovviamente su $\mathbb{R}$ munito della metrica euclidea $d_e$ indotta dalla norma euclidea $||.||_e$ che in $\mathbb{R}$ si riduce semplicemente al modulo $|.|$.
Ma se munisco $\mathbb{R}$ di una metrica "brutta" $d$ non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$, il teorema di Bolzano-Weierstrass continua a valere?

Personalmente credo di no, perché munendo $\mathbb{R}$ (o più in generale $V$) di una metrica non indotta da alcuna norma di $\mathbb{R}$ non stiamo sfruttando in alcun modo il fatto che stiamo ragionando con uno spazio vettoriale, e ci mettiamo praticamente nella condizione di voler dimostrare il teorema di B-W in uno spazio metrico (e sappiamo benissimo che tale teorema non vale in generale in spazi metrici).

Attendo un vostro gentile chiarimento.

[otta96]

Una qualsiasi successione che non assume infinite volte nessun valore in $RR^n$ è limitata se poni la metrica discreta su esso, ma non ha sottosuccessione convergenti.

[Leonardo97]

Ok quindi bastava considerare la metrica discreta (che non è indotta da nessuna norma) e vedere che munendo $V$ di tale metrica il teorema di B-W non tiene, perché esiste almeno una successione limitata in tale metrica che però non ammette nessuna sottosuccessione convergente. Giusto?

Dunque in definitiva ne caso più generale posso dire che: Il teorema di B-W vale per ogni spazio vettoriale finito dimensionale (sul campo $\mathbb{K}$ dei reali o dei complessi) munito di metrica indotta da una qualsiasi sua norma.

Corretto?

Grazie delle disponibilità

[otta96]

Si giusto.

[Leonardo97]

Mille grazie!