Funzione olomorfa e derivate di Wirtinger

Messaggioda 3m0o » 03/10/2019, 10:05

Sia \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione \( \mathcal{C}^1 \). Dimostra che \( f \) è olomorfa se e solo se \( \bar{\partial}f(z)=0 \) per ogni \( z \in U \) e che in questo caso \( f'(z) = \partial f(z) \)

Sia \( f: U \to V \) una funzione biietiva e olomorfa,dimostra che se \(f' \) non si annulla su \(V\) allora la funzione inversa \(f^{-1} \) è olomorfa.

Avrei solo due domandine, la prima l'ho svolta in questo modo

Se \( \bar{\partial}f(z)=0 \) allora \(\frac{1}{2}(\partial_1f + i \partial_2f )(z)=0 \) e pertanto abbiamo che
\( \partial_1f(z) =- i \partial_2f(z) \Leftrightarrow \partial_1f(z) = \frac{1}{i} \partial_2f(z) \)
Siccome abbiamo \( f=f_1 + if_2 \) abbiamo che \( \partial_1(f_1+if_2)(z) = \frac{1}{i} \partial_2(f_1+if_2)(z) \)
\( \partial_1f_1(z)+i \partial_1 f_2(z) = -i \partial_2 f_1(z)+ \partial_2 f_2(z) \)
Da cui ricaviamo le equazioni di Cauchy-Riemann
\[
\partial_1f_1(z) = \partial_2 f_2(z) \]
\[\partial_1 f_2(z) = - \partial_2 f_1(z) \]
Pertanto \( f \) olomorfa. Per l'altra direzione basta eseguire il procedimento a ritroso.

Siccome \(f\) olomorfa abbiamo che
\[f'(z)= \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(z+h)-f(z)}{h} \in \mathbb{C}\setminus \{0\} \]
E pertanto abbiamo che \[ \frac{1}{f'(z)}=(f^{-1})'(z) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h}{f(z+h)-f(z)} \in \mathbb{C}\setminus \{0\} \]
Pertanto anche \( f^{-1} \) è olomorfa.

Vi sembra funzionare?
3m0o
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