Sia \( f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \) una serie complessa convergente con raggio di convergenza \(R \). Sia \( n \in \mathbb{N} \), e \( j \in \{0,\ldots,n-1\} \).Dimostra che per \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} < R \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{j+kn}z^{j+kn} = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z) \]
In quanto abbiamo che \( \begin{vmatrix}e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} \end{vmatrix} = 1 \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} z \end{vmatrix} < R \) pertanto abbiamo che
\[ \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z) = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z)^k \end{pmatrix}\]
\[=\frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k \end{pmatrix} \]
Siccome a sinistra abbiamo una somma finita e a destra una serie convergente abbiamo:
\[ \frac{1}{n}\sum\limits_{u=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k =\frac{1}{n}\sum\limits_{u=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}u(j+k)}z^k \]
Con \( u = 0 \) abbiamo che quella somma va a zero.
Con \( uj+uk = \ell n \) abbiamo che quella somma va a zero per ogni \( u \)
Poi mi blocco e non so come togliere gli altri termini... qualcuno ha un suggerimento?