Serie di potenze complessa convergente.

Messaggioda 3m0o » 03/10/2019, 10:48

Sia \( f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \) una serie complessa convergente con raggio di convergenza \(R \). Sia \( n \in \mathbb{N} \), e \( j \in \{0,\ldots,n-1\} \).Dimostra che per \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} < R \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{j+kn}z^{j+kn} = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z) \]

In quanto abbiamo che \( \begin{vmatrix}e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} \end{vmatrix} = 1 \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} z \end{vmatrix} < R \) pertanto abbiamo che
\[ \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z) = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(e^{-\frac{2 \pi i}{n}u}z)^k \end{pmatrix}\]
\[=\frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k \end{pmatrix} \]
Siccome a sinistra abbiamo una somma finita e a destra una serie convergente abbiamo:
\[ \frac{1}{n}\sum\limits_{u=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k =\frac{1}{n}\sum\limits_{u=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_ke^{-\frac{2 \pi i}{n}u(j+k)}z^k \]
Con \( u = 0 \) abbiamo che quella somma va a zero.
Con \( uj+uk = \ell n \) abbiamo che quella somma va a zero per ogni \( u \)
Poi mi blocco e non so come togliere gli altri termini... qualcuno ha un suggerimento?
3m0o
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Re: Serie di potenze complessa convergente.

Messaggioda 3m0o » 04/10/2019, 18:26

Ho detto tante cose sbagliate nel commento precedente, a cominciare dal enunciato :-D
Ecco quello corretto
Sia \( f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kz^k \) una serie complessa convergente con raggio di convergenza \( R \). Sia \( n \in \mathbb{N} \), e \( j \in \{0,\ldots,n-1\} \).Dimostra che per \( \begin{vmatrix} z \end{vmatrix} < R \) abbiamo che
\[ \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{j+kn}z^{j+kn} = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{\frac{2 \pi i}{n}u}z) \]
E quindi diventa:
In quanto abbiamo che \( \begin{vmatrix}e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} \end{vmatrix} = 1 \) abbiamo che \( \begin{vmatrix} e^{-\frac{2 \pi i}{n}u} z \end{vmatrix} < R \) pertanto abbiamo che
\[ \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}f(e^{\frac{2 \pi i}{n}u}z) = \frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k(e^{
\frac{2 \pi i}{n}u}z)^k \end{pmatrix} \]
\[ =\frac{1}{n} \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}\begin{pmatrix}\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_ke^{\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k \end{pmatrix} = \star \]
Siccome a sinistra abbiamo una somma finita e a destra una serie convergente abbiamo:
\[\star = \frac{1}{n}\sum\limits_{u=0}^{n-1}\sum\limits_{k=0}^{\infty} e^{-\frac{2 \pi i}{n}uj}a_ke^{\frac{2 \pi i}{n}uk}z^k =\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_ke^{\frac{2 \pi i}{n}u(k-j)}z^k \]
Con \( k=j+\ell n \) abbiamo che la serie diviene
\[\star =\frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_{j+kn}z^{j+kn} + \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0; k\neq j+ \ell n}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_ke^{\frac{2 \pi i}{n}u(k-j)}z^k \]

E per alleggerire la notazione annotiamo \( r_{k,j}:= k-j\) e abbiamo che che
\[ \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0; k\neq j+ \ell n}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_ke^{\frac{2 \pi i}{n}u(k-j)}z^k = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0; k\neq j+ \ell n}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_ke^{\frac{2 \pi i r_{k,j}}{n}u}z^k\]
\[ = \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0; k\neq j+ \ell n}^{\infty}a_k z^k \sum\limits_{u=0}^{n-1} e^{\frac{2 \pi i r_{k,j}}{n}u}= \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0; k\neq j+ \ell n}^{\infty}a_k z^k \frac{1-e^{2 \pi i r_{k,j}}}{1-e^{\frac{2 \pi i r_{k,j}}{n}}} = 0 \]
Pertanto
\[ \star= \frac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\sum\limits_{u=0}^{n-1} a_{j+kn}z^{j+kn} = \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_{j+kn}z^{j+kn} \]
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