da pilloeffe » 03/10/2019, 21:19
Ciao Ele975,
Benvenuta sul forum!
Comincerei con l'osservare che l'uguaglianza proposta è falsa, infatti per $n = 1 $ si ha:
$ \sum_{k=2}^(2) (2k-1) = 4 - 1 = 3^1 $
il che lascerebbe presumere che sia vera, ma già per $n = 2 $ si può notare che è falsa:
$ \sum_{k=3}^(4) (2k-1) = (6 - 1) + (8 - 1) = 5 + 7 = 12 \ne 3^2 = 9 $
Poi, prima ancora di procedere con una dimostrazione per induzione, osserverei che posto per brevità $a_k := 2k - 1 $ si ha:
$ \sum_{k=1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(n) a_k + \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k $
Pertanto la sommatoria proposta è la seguente:
$ \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(2n) a_k - \sum_{k=1}^(n) a_k $
Ora si può dimostrare (per induzione, ma anche con altri metodi) e ti inviterei a farlo, che si ha:
$ \sum_{k=1}^(n) a_k = n^2 $
Scrivendo in quest'ultima equazione $2n $ al posto di $n $ si ha:
$ \sum_{k=1}^(2n) a_k = 4n^2 $
In definitiva per la sommatoria proposta si ha:
$ \sum_{k= n + 1}^(2n) a_k = \sum_{k=1}^(2n) a_k - \sum_{k=1}^(n) a_k = 4n^2 - n^2 = 3n^2 $