Derivato, interno e frontiera di un insieme

[Leonardo97]

Insomma l'unico dubbio che mi resta è se $S^{\circ} \subseteq S'$ oppure no, con $S$ generico sottoinsieme di uno spazio metrico $X$. Ma credo di aver dimostrato con un controesempio che ciò non è in generale vero.
Desideravo solo sapere se il mio controesempio fosse corretto. Lo è?

Grazie della disponibilità.

[gugo82]

In generale no.
Prendi uno spazio $X$ avente più di un elemento e con la metrica discreta $d(x,y) = \{ (0, text(, se ) x=y), (1, text(, se ) x!=y) :}$, che è uno spazio con topologia $mathcal(A) = P(X)$.
Evidentemente, comunque scegli un sottoinsieme $S sub X$ non vuoto, si ha $S$ aperto, quindi $S^circ = S$, e però $S^’ = emptyset$ (perché per ogni $s in S$ esiste l’intorno aperto $\{s\}$ di $s$ che non ha con $S$ punti in comune diversi da $s$ stesso).

Ma questo dipende dal fatto che la metrica discreta fa “schifo”, perché genera intorni aperti “troppo stretti” (nel senso che esistono intorni aperti che contengono solo il “centro” come punto).
Generalmente, si tende ad evitare questa situazione, cioè si tende a mettere su uno spazio metriche che generino intorni aperti “sufficientemente larghi” (cioè che contengano anche altri punti oltre il loro “centro”).

[vict85]

Però, a occhio, direi che vale che \(S^{\circ} \setminus S'\subseteq X \setminus X'\). Dove \(\setminus\) è la differenza insiemistica.

[Leonardo97]

Grazie per la risposta gugo82. Allora avevo ragionato correttamente con l'esempio con la metrica discreta.

[Leonardo97]

Però, a occhio, direi che vale che \(S^{\circ} \setminus S'\subseteq X \setminus X'\). Dove \(\setminus\) è la differenza insiemistica.

Beh no in generale proprio no.

[Leonardo97]

No scusa avevo letto male. Non saprei.

[vict85]

Un punto \(s\in S\) è in \(S^{\circ}\), se esiste un suo intorno \(U\) (in \(X\)) tale che \(U\subseteq S\). Un punto \(s\in S\) è in \(X\setminus S'\) se esiste un suo intorno \(V\) tale che \(V\cap S = \{s\}\). Cosa puoi dire su \(U\cap V\) ? Banalmente \(U\cap V\cap S = \{s\}\) e \((U\cap V)\subseteq S\). Ovvero, \(U\cap V\) è un aperto di \(s\) in \(X\) che è composto dal solo punto \(s\).