Buongiorno a tutti,
Devo definire se la seguente serie diverge o converge, quindi devo trovare il limite del rapporto fra An+1 e An.
1) $ sum_(n=1)^oo (2^(3n)(n-1)!)/(n+1)^n $
2) $ lim_(n->oo) (2^(3(n+1))(n+1-1)!(n+1)^n)/((n+1+1)^(n+1)2^(3n)(n-1)!) $
3) Dopo aver semplificato il 2 e il fattoriale ottengo:
$ lim_(n->oo) (2^3n(n+1)^n)/((n+2)^(n+1)) $
4) Che e' uguale a:
$ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 (n+1)^n/((n+2)^n ) $
5) $ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 = 8 $
Sapresti dirmi se e' corretto?
6) $ lim_(n->oo)(n+1)^n/((n+2)^n ) = lim_(n->oo)[(1+1/(n+1))^(n+1)]^(-n/(n+1))=e^-1 $
7)Quindi:
$ lim_(n->oo) (2^3n)/(n+2)^1 (n+1)^n/((n+2)^n ) = 8/e $