Integrale e "funzione gamma"

[PaoloV]

Salve a tutti, è il mio primo messaggio qui spero sia la sezione giusta e di non fare casini con lo scrivere le formule. Su degli esercizi svolti dal mio docente di metodi matematici ad un certo punto si giunge ad un integrale del tipo

$a^2/8 \int_0^\infty e^(-t) t^(5-1) dt = a^2/8 \Gamma(4+1)$

ed il conto finisce così, come se il risultato fosse scontato . Cioè proprio non capisco che vuol dire quell'esponente $(5-1)$ perchè non mettere 4? E poi quella "gamma" maiuscola è una funzione? E perchè scrivere 4+1 e non 5? Cosa c'entra con quell'integrale? Ho provato a cercare qualcosa su wikipedia ma non ho capito molto, l'unica cosa che ho trovato mi pare sia una funzione che ha a che fare con i numeri naturali che non so cosa c'entri in questo caso. Spero possiate aiutarmi

[gugo82]

Sì, la funzione gamma di Eulero, denotata con $Gamma (x)$, è una delle cosiddette funzioni speciali che (pur non essendo funzioni elementari) intervengono spesso nella risoluzione di integrali legati a problemi matematici/fisici/ingegneristici.

In particolare, per $x>0$ di definisce:
\[
\Gamma (x) := \int_0^{+\infty} t^{x - 1}\ e^{-t}\ \text{d} t
\]
visto che l’integrale è assolutamente convergente; inoltre si dimostra che tale definizione ha senso anche sostituendo alla variabile reale $x$ una variabile complessa $z$ a patto che $text(Re)(z)>0$.
La funzione gamma è dotata di numerose proprietà, tra le quali c’è la seguente $Gamma(n+1) = n!$ che può essere verificata direttamente integrando per parti.

[PaoloV]

Ti ringrazio moltissimo per la tempestiva risposta! Quindi, tanto per esserne sicuro, nel mio caso otterrei

$\Gamma(4+1)=4!$

giusto?

[pilloeffe]

Ciao PaoloV,

Benvenuto sul forum!

Cioè proprio non capisco che vuol dire quell'esponente $(5−1)$ perchè non mettere 4?

Perché essendo la funzione $\Gamma(x) $ definita come ti ha già scritto gugo82, l'esponente della $t $ è $x - 1 $, quindi è naturale scriverlo come $5 - 1 $ perché così si vede subito che si ha:

$\int_0^{+\infty} e^(-t) t^(5-1) \text{d}t = \Gamma(5) $

E perchè scrivere 4+1 e non 5?

Questo invece probabilmente ha a che fare con la proprietà anch'essa citata da gugo82, per cui credo che scrivendo i passaggi saltati il tuo docente intendesse quanto segue:

$ a^2/8 \int_0^{+\infty} e^(-t) t^(5-1) \text{d}t = a^2/8 \Gamma(5) = a^2/8 \Gamma(4 + 1) = a^2/8 \cdot 4! = a^2/8 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 3 a^2 $

[PaoloV]

Perfetto, ringrazio tutti per le esaurienti risposte! Gentilissimi.