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Integrale improprio

14/10/2019, 19:46

Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.

Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?

Un secondo esempio è anche $\int_(-oo)^(+oo) 1/x^n dx$ vedo che divergono sempre, ma sfruttando i modi che conosco di integrali impropri notevoli o di calcolo diretto mi impantano perché magari converge a infinito ma non a zero (la funzione infatti lì non è definita e in zero ci passo per forza). Mi trovo che da una parte converge e dall'altra no... e quindi?

Chiedo un aiuto sui due casi :oops:
Grazie per l'aiuto

Re: Integrale improprio

14/10/2019, 21:22

In questi casi la primitiva la puoi calcolare esplicitamente. Calcoli l'integrale e poi fai tendere gli estremi a infinito.

Ossia $\lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^{+a} f(x) \text{dx}$

Nel caso di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$ *nel senso del valor principale* (non l'avevo specificato)
Ultima modifica di feddy il 15/10/2019, 19:29, modificato 1 volta in totale.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 14:01

Guarda ti ringrazio davvero tanto per la risposta.

feddy ha scritto: di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$


Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre
Ultima modifica di alifasi il 15/10/2019, 17:46, modificato 3 volte in totale.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 15:38

alifasi ha scritto:Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.

Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?


Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti [EDIT] (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).




EDIT: uno positivamente, l'altro negativamente
Ultima modifica di alessio76 il 15/10/2019, 18:59, modificato 1 volta in totale.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 17:39

[Edit: 18.54]

alessio76 ha scritto:
alifasi ha scritto:Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.

Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?


Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti positivamente (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).


Ciao :),
ma il fatto è che spezzavo mettiamo in zero:
1) $x^2/2|_(-oo)^0=0-\oo/2$
2) $x^2/2|_(0)^(+oo)=oo/2-0$

1+2) $-oo+oo=?$

Tuttavia dopo le osservazioni di feddy

alifasi ha scritto:
feddy ha scritto: di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$


Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre



Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide) :roll:
Non riesco a capire l'errore.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 19:11

alifasi ha scritto:[Edit: 18.54]

alessio76 ha scritto:
alifasi ha scritto:Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.

Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?


Riguarda la definizione, in casi come questo la definizione standard richiede che spezzi il dominio di integrazione in due parti, scegliendo (a caso) un punto in mezzo. Trovi due integrali impropri (indipendenti) entrambi divergenti positivamente (come vedi subito calcolando una primitiva)...quindi concludi...
Il limite "simmetrico", fatto senza spezzare l'intervallo d'integrazione, si chiama (integrale) in valore principale di Cauchy, esiste, è una nozione utile, ma non è quello che stai considerando qui (hai detto "integrale impropri"...).


Ciao :),
ma il fatto è che spezzavo mettiamo in zero:
1) $x^2/2|_(-oo)^0=0-\oo/2$
2) $x^2/2|_(0)^(+oo)=oo/2-0$

1+2) $-oo+oo=?$

Tuttavia dopo le osservazioni di feddy

alifasi ha scritto:
feddy ha scritto: di $f(x)=x$, per ogni $a \in RR$ si ha $\int_{-a}^{a} x dx = \frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}=0$, dunque abbiamo $0$


Già, hai ragione, però non capisco perché wolfram dica che diverge. Dovrebbe divergere ma come dici correttamente $lim( a->oo) (a^2/2-a^2/2)=0$ sempre



Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide) :roll:
Non riesco a capire l'errore.


No, non ci sono visioni alternative, ci sono le definizioni che non hai chiare (va detto che alcuni testi sull'argomento non aiutano affatto). Prova a scrivere le definizioni che stai usando concentrandoti sull'isolare il significato delle espressioni (avendo cura di esaurire tutta la casistica possibile e di individuare le locuzioni sinonime/varianti):
1) "l'integrale improprio "converge";
2) l'integrale improprio "diverge";
3) l'integrale improprio "oscilla";
4) l'integrale improprio "non converge";

Vedi, per esempio:

http://www.dima.unige.it/~zappa/smid/Analisi2-SMID(8%ef%80%a29)-capitolo4.pdf (copia e incolla...)

http://www1.mat.uniroma1.it/people/garr ... 2-DMNO.pdf
Ultima modifica di alessio76 il 15/10/2019, 19:17, modificato 1 volta in totale.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 19:16

alifasi ha scritto:Mentre wolfram alpha mi dice divergere. Non riesco piùa raccapezzarmi (ho tre visioni diverse e mi sembran tutte valide) :roll:
Non riesco a capire l'errore.

Non mi sembra ci sia un errore.
Detta mooooolto alla buona, il valore principale serve proprio a trovare una soluzione quando "per vie normali" la soluzione non c'è.
L'integrale improprio $\int_{-\infty}^\infty x dx$ diverge, perché si intende che con integrali impropri di questo genere si spezza l'intervallo di integrazione, come diceva alessio76.
Non solo Wolfram, anche Sage (https://it.wikipedia.org/wiki/Sage_(software)) dice che diverge.
D'altra parte, non è detto che uno si debba... arrendere. Se proprio vuoi un valore, calcoli il valore principale (come ha fatto feddy).
E infatti Maxima (https://it.wikipedia.org/wiki/Maxima_(software)) ci dice:

Codice:
(%i8) integrate(x, x, minf, inf);
Principal Value
(%o8)   0

che va letto:
a) l'integrale improprio diverge;
b) se... insisti, il valore principale è 0.

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 19:18

Grazie Sergio per la puntualizzazione, in effetti avrei dovuto essere più preciso

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 19:25

Sergio ha scritto:Non solo Wolfram, anche Sage (https://it.wikipedia.org/wiki/Sage_(software)) dice che diverge.


Wolfram
Immagine

Re: Integrale improprio

15/10/2019, 19:44

Da quanto ho capito studiando e confermato leggendo il tuo link è che l'integrale improprio sia uno strumento per poter integrare anche i casi in cui non rispetta i due dettami imposti da Riemann che ha fomulato nella sua costruzione dell'integrale sfruttando la funzione a scala.

Richiede in modo basilare che:
1) integro su intervallo compatto
2) funzione da integrare definita e limitata sull'intervallo

Per far questo mi riconduco all'integrale in caso finito e lo indebolisco in quel che mi va stretto
(vado a ritroso)

2) la richiesta di limitatezza dell'integranda nell'intervallo chiuso e limitato posso eliminarla prendendo un intervallo [a,b). (Però il dubbio è sull'altra richiesta che segue...)
1) in questo caso l'idea è prendere un intervallo illimitato, per farlo prendo un estremo c e lo mando al limite dopo aver sfruttato il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Però far questo mi pare di poterlo fare operativamente sia spezzando l'integrale (sfruttando la proprietà di additività) come ho fatto sopra (in cui trovo la forma indeterminata $-oo+oo$ però e da cui non so uscirne).
Oppure posso fare come fa feddy, ovvero non lo spezzo, lo calcolo con sue parametri "al finito" (le "a") e poi mando a infinito. Però al finito si elide a/2 con -a/2 e quindi il limite di zero per a->oo è comunque zero

Poi c'è wolfram che invece dice divergere. E quidi si c'è una lacuna, ma non riesco a capirla perché la teoria speravo di averla capita :(

Disastro!

PS: scusate mi sono accavallato nell'editing e ho potuto leggere solo ora le risposte per cui vi ringrazio :), credo di non aver la più pallida idea di cosa sia il valore principale e non l'ho mai visto :-D. Ci guarderò sicuramente ma vedo che appartiene a corsi futuri quindi non è una lacuna quanto una "lacuna di fabbrica" non nascendo "imparato".

Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge :oops:
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