Integrale improprio

Mi pare di capire quindi che sono costretto a spezzare (ma perché?) dalla teoria (quello che so è qui sopra, sono andato a memoria proprio per vedere e mostrarvi cosa so e nel caso permettervi di individuare cosa NON so) non ho capito il motivo.
E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge

Penso che la risposta sul perché tu sia "costretto a spezzare", ed in generale anche alla tua seconda domanda, si trovi nel pdf che ti hanno linkato sopra:

Cito testualmente:

Ancora più in generale se una funzione f è definita in un insieme A che è unione finita di intervalli disgiunti della forma $(a, b], [a, b)$ o $(a, b)$ con $oo ≤ a < b ≤ oo$, per dare senso all'integrabilità in senso improprio, si sceglie il seguente procedimento:

– si suddivide l’insieme A (limitato o illimitato) in un numero finito di intervalli, in ciascuno dei quali il problema dell’integrabilità sia presente o in Definizione 1.3 o in Definizione 1.5;
– se tutti gli integrali impropri esistono, la funzione è integrabile in senso improprio nell'insieme di partenza e l’integrale improprio è la somma degli integrali nei singoli intervalli;
– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.

@alifasi
Mi ero astenuto perchè poi arriva qualcuno a cazziarmi ma nella sostanza ciò che hai scritto e fatto è corretto.
La definizione di integrale di riemann è in un intervallo continuo e finito. Nella pratica, tutti scrivono gli integrali impropri ma devono essere intesi come limiti.
Nel caso specifico poichè uno può scegliere qualsiasi intervallo $[a,b]$ e poi fare due limiti per poi trovarsi con una forma indeterminata, occorre una definizione...e Cauchy la diede per specifici integrali impropri.
Sempre nel caso specifico, Cauchy dice che se la integranda è una funzione dispari, allora si può scrivere esattamente ciò che ha scritto feddy...ed è per definizione il suo valore principale.

Adesso vengono a cazziarmi così impari di più...

Nell'ipotesi che l'op debba sostenere l'esame di analisi 1...così gli fai solo perdere punti o, peggio, bocciare. Ha solo un problema con le definizioni, soluzione: imparare i nomi (e il senso) delle cose. Mi spiace se ti sembro polemico, non è quello l'intento, spero sia chiaro.

@alessio
L'ha scritto pure Obidream

– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.

Per ovviare a ciò in casi specifici si usa il valore principale.
Cos'è che non ti torna?

P.S. in analisi 1 non si fanno queste cose

@alessio
L'ha scritto pure Obidream

– se uno (o più) degli integrali nei sottointervalli non esiste o esiste, ma non è finito, la funzione non è integrabile in senso improprio.

Per ovviare a ciò in casi specifici si usa il valore principale.
Cos'è che non ti torna?

P.S. in analisi 1 non si fanno queste cose

Obidream ha, correttamente, citato da uno dei link che ho postato per aiutare l'op a comprendere una definizione.
Ciò che si fa in analisi 1 dipende ancora dall'ateneo e dal corso di studi, ovviamente non l'ho scritto a caso.
La questione non è ciò che non torna a me, ma ciò su cui ha chiesto aiuto l'op.

@alessio
Mi conforta perchè io ho scritto:

...ciò che hai scritto e fatto è corretto.

e poi sono andato a spiegare perchè la soluzione di feddy è:
-scorretta dal punto di vista dell'integrale di Riemann (diverge)
-corretta dal punto di vista della definizione di valore principale di Cauchy

Senza polemica, ma tu cosa hai capito?

@alessio
Mi conforta perchè io ho scritto:

...ciò che hai scritto e fatto è corretto.

e poi sono andato a spiegare perchè la soluzione di feddy è:
-scorretta dal punto di vista dell'integrale di Riemann (diverge)
-corretta dal punto di vista della definizione di valore principale di Cauchy

Senza polemica, ma tu cosa hai capito?

Il tuo commento (di cui non intendevo discutere la correttezza dal punto di vista matematico...parentesi nella parentesi: se l'integranda è dispari il vp viene zero, perché quella restrizione? Come lo definisce il logaritmo integrale?) mi è sembrato potenzialmente fuorviante rispetto alla domanda inizialmente posta dall'OP:

Credo di avere un dubbio sugli integrali impropri (e davvero semplice) mi blocco.

Ossia non capisco perché $\int_(-oo)^(+oo) x dx$ diverga, intuitivamente mi pare le due parti della funzione dispari si compensino. Come potrei mostrarlo che divergono?

In che modo lo aiutiamo a capire questo? Spiegandogli il valor principale?

Gli integrali impropri sono spesso un argomento ostico, anche perché la definizione si dà per ampliamenti successivi con vari sotto casi, quindi è molto facile perdersi. Credo che andando ad aggiungere informazioni, correlate sì, ma non strettamente pertinenti si rischi di aumentare il senso di confusione di chi ha posto la domanda. Tra l'altro la confusione tra la nozione di "integrale improprio" e quella di "integrale in valor principale" è uno degli errori tipici che si riscontrano agli esami... Un po' come cercare di calcolare il limite in due variabili $\lim_{(x;y)\to\infty} f(x;y)$ come $\lim_{t\to+\infty} f(t;-t)$ (e perché non, allora $\lim_{t\to+\infty} f(u(t);v(t))$ con altre $u(t)$ e $v(t)$ divergenti per $t\to +\infty$?) "solo" perché il secondo viene finito.
Col che, nulla contro il VP (ci mancherebbe ancora, è utile...) né contro il fatto che sia un bene conoscerlo, ma se uno vuole/deve capire gli integrali impropri deve avere ben chiaro che sono due cose diverse, non solo "punti di vista".
Per questa ragione ho risposto al tuo commento, mi spiace se ti sono sembrato brusco.

In che modo lo aiutiamo a capire questo? Spiegandogli il valor principale?

Alessio, era già stato introdotto da feddy creando confusione appunto.
Se segui il thread compredi il mio intervento che era mirato a chiarire la cosa.
L'OP ha sollevato una questione perfettamente sensata a cui è stata data una risposta che ha creato una ragionevole confusione.
Poi ho il scritto il post.

Mi rendo conto che la mia risposta ha proprio incasinato le cose, mi scuso con l'OP! Tuttavia ho risposto di getto credendo che la domanda fosse "in quale senso" quell'integrale può fare $0$.

E comunque anche spezzando mi viene una dannata forma indeterminata, quindi non dimostro che diverge

No, come ti è stato fatto notare da Obidream, nella definizione di integrale improprio per il caso che stai considerando ti si chiede che i due limiti esistano finiti entrambi, indipendentemente l'uno dall'altro: non hai da sciogliere una forma di indecisione... Nel primo link che ti ho postato trovi il caso che ti interessa trattato nel paragrafo 3 (pagina 7) in modo esplicito per una generica integranda $f(x)$: sottocaso 3. In quella dispensa usa la locuzione "integrale improprio indeterminato", in altre puoi trovare "oscillante", in altre ancora "non convergente". Tieni presente che, a volte in inglese puoi trovare "divergent" per tutti i casi in cui l'integrale improprio "non esiste" o è infinito (cfr. slide 4 di https://www.math.upenn.edu/~ryblair/Mat ... _12Sol.pdf).

Ringrazio tutti gli intervenuti!

Cerco di chiarire il contesto: si in realtà devo sostenere analisi 1, in particolare sono un chimico che ha deciso di spostarsi di facoltà, quindi non devo sostenere totalmente analisi 1 ma integrare molte parti e sostenere un colloquio. Ho deciso quindi di rimboccarmi le maniche e riprendere tutto daccapo dato che ho molte lacune e praticamente devo rifarmi analisi 1, alcontempo seguo algebra e algebra lineare, insomma il classico primo anno di matematica.

Per quanto riguarda il PV ho capito che è un'altra definizione e che non ha nulla a che fare con la definizione di integrale improprio, non è un punto di vista, è proprio una definizione di un oggetto diverso.

Tornando al dubbio: per come sono definite dal professore, nel corso, si hanno 3 casi di integrale improprio:
1) L'integrale improprio converge al limite (integrabile impropriamente)
2) Il limite esiste ma è infiito (divergente)
3) Se non esiste limite parla di (oscillante)

Mi ero quindi persuaso che per essere divergente dovesse avere limite infinito, si, ma che fosse anche coerente: in altre parole che avesse segno concorde il "segno di infinito", ora mi pare di aver capito la magagna... il punto è che probabilmente per wolfram (nella sua nomenclatura) deve andare a infinito per essere definito "divergente" (dice divergent), ma non importa con che segno (può appunto anche essere discorde).
Mentre nella mia testa l'avrei appunto chiamato "indeterminato" ma di certo non "divergente" e nemmeno "oscillante" (dato che oscillante è per me quando il limite non esiste).

Poi grazie a feddy che non ha capito la domanda ho capisto una cosa che non avevo capito (inception ) ad esempio spezzavo l'intervallo ma lo facevo automaticamente senza essermi mai posto il problema del perché. Mi ha aiutato a evidenziare un dubbio